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《大学经典课件之高等数学——10-6高斯公式与散度.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十章第六节高斯公式与散度一、高斯公式二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度机动目录上页下页返回结束一、高斯公式说明：若Ω可表成：Ω={(x,y
2、)z1(x,y)≤z≤z2(x,y(),x,y)∈Dxy}则称Ω是xy型空间区域；若Ω可表成：Ω={(y,z
3、)x1(y,z)≤x≤x2(y,z(),y,z)∈Dyz}则称Ω是yz型空间区域；机动目录上页下页返回结束若Ω可表成：Ω={(z,x
4、)y(z,x)≤y≤y(z,x(),z,x)∈D}12zx则称Ω是zx型空间区域.若Ω即是xy型区域，又是yz型及zx型区域，则称Ω为简单
5、区域.对于一般的区域，通常可用几张辅助曲面将其分为有限个简单区域。机动目录上页下页返回结束定理1：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有公式∂P∂Q∂R∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫(++)dV∂x∂y∂z∑Ω或∂P∂Q∂R∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS=∫∫∫(++)dV∂x∂y∂z∑Ω这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα,cosβ,cosγ是∑上点(x,y,z)处的外法向量的方向余弦.机动目录上页下页返回结束
6、证明先对Ω是简单区域的情况进行证明。设闭区域Ω在xoy坐标面上的投影区域为D.xyΣ由Σ,Σ和Σ三部分组成,123zΣ:z=z(x,y)11Σ2Σ:z=z(x,y)22ΩΣ3Σ:为柱面上的一部分．3Σ1这里z1(x,y)≤z2(x,y)，DyoxyΣ取下侧,Σ取上侧,12Σ取外侧．x3机动目录上页下页返回结束根据曲面积分的计算法R(x,y,z)dxdy=−R[x,y,z(x,y)]dxdy,∫∫∫∫1Σ1DxyR(x,y,z)dxdy=R[x,y,z(x,y)]dxdy,∫∫∫∫2Σ2Dxy∫∫R(x,y,z)dxdy=.0Σ3于是∫
7、∫R(x,y,z)dxdyΣ={R[x,y,z(x,y)]−R[x,y,z(x,y)]}dxdy,∫∫21Dxy机动目录上页下页返回结束根据三重积分的计算法∂Rz2(x,y)∂R∫∫∫dV=∫∫dxdy∫dz∂zz1(x,y)∂zΩDxy={R[x,y,z(x,y)]−R[x,y,z(x,y)]}dxdy.∫∫21Dxy∂R∴∫∫∫dV=∫∫R(x,y,z)dxdy.∂zΩΣ∂P同理∫∫∫dV=∫∫P(x,y,z)dydz,∂xΩΣ∂Q∫∫∫dV=∫∫Q(x,y,z)dzdx,∂yΩΣ机动目录上页下页返回结束合并以上三式得：∂P∂Q∂
8、R∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫(++)dV∂x∂y∂zΣΩ————高斯公式对于一般的区域，通常可用几张辅助曲面将其分为有限个简单区域。每个区域上高斯公式成立，然后相加。因在辅助曲面上的积分正反两面各积一次，正好互相抵消，因此高斯公式也成立。机动目录上页下页返回结束由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dSΣ∂P∂Q∂R=∫∫∫(++)dV∂x∂y∂zΩGauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.机动目录上页下页返回结束使用Gu
9、ass公式时应注意:1．判断是否满足高斯公式的条件：（1）Σ是分片光滑的闭曲面；（2）P、Q、R在Σ围成的空间区域Ω上具有一阶连续偏导数。2．P、Q、R是对什么变量求偏导数;3．Σ是取闭曲面的外侧.机动目录上页下页返回结束z例1计算曲面积分∫∫(x−y)dxdy+(y−z)xdydzΣ322其中Σ为柱面x+y=1及平面z=,0z=3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧。y解:P=(y−z)x,Q=,0R=x−y,o11∂P∂Q∂Rx=y−z,=,0=,0∂x∂y∂z高斯公式原式=====∫∫∫(y−z)dxdydz=∫∫∫(ρsi
10、nθ−z)ρdρdθdzΩΩ2π139π=∫dθ∫dρ∫ρ(sinθ−z)ρdz=−.0002机动目录上页下页返回结束例2计算I=∫∫(x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdyΣ其中Σ是以原点为中心，边长为a的轴向正方体的整个表面的外侧。zΣ3后解:由高斯公式Σ1上ΣΣ2左2右yI=∫∫∫1(+1+)1dxdydzΣ1下ΩxΣ3前3=3∫∫∫dxdydz=3aΩ机动目录上页下页返回结束222例3：计算I=∫∫(xcosα+ycosβ+zcosγ)dS，其中Σ为Σ222锥面x+y=z介于z=0，z=h(h>)0之间的部分
11、取下侧，cosα,cosβ,cosγ是Σ在点(x,y,z)处法向量的方向余弦。z解1直接用公式222⋅hI=∫∫xdydz+ydzdx+zdxdyΣ2−x2−y=−∫∫[x22+y22Σx+yx+yDxy22+(x+y)
