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1、22数学通讯2011年第3期(上半月)辅教导学巧用直线的参数方程解一类焦点弦长问题彭耿铃(福建省泉州市第七中学,362000)2解析几何中的动直线过焦点问题是高考中一2ab=2222种常考的题型.这类问题在高考中主要考察直线
2、asin+bcos
3、2与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程、不等式的解2ba法,考察分类与整合思想以及学生的运算能力和=22b2综合解题能力,所涉及到的知识点多、覆盖面广、
4、sin+2cos
5、a综合性较强,不少学生常常因缺乏解题策略导致22b解答过程繁难、
6、运算量大,甚至半途而废,严重影a=222响了学生的高考成绩.
7、sin+(1-e)cos
8、本文给出一个常用定理,并选取近几年高考H=22.中的几道动直线过焦点问题的压轴题为例,巧用
9、1-ecos
10、直线的参数方程来解题,可化繁为简,减少计算过下面我们利用上述焦点弦长公式来巧解几道程,易于被学生接受.高考试题.定理已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物例1(2007年全国卷文第22题)已知椭22线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),过焦点xy圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的32F且倾斜角为的直线
11、l与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则:直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长A、C两点,且ACBD,垂足为P.22Hx0y0AB=22;(1)设P点的坐标为(x0,y0),证明:3+2
12、1-ecos
13、(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长<1;H(2)求四边形ABCD的面积的最小值.AB=22.
14、1-esin
15、本文仅以焦点在x轴上、中心在原点的椭圆为例给出证明,其它情形请读者自证.22xy证明设椭圆方程为2+2=1(a>b>ab22bc0),
16、通径H=,离心率e=,弦AB所在的直aa图1线l的方程为y=k(x-c)(其中k=tan,为直解(1)较为简单,这里省略!222线l的倾斜角),其参数方程为xy2b(2)易求得椭圆+=1,通径H==x=c+tcos32a(t为参数).y=tsin433,离心率e=.代入椭圆方程并整理得:332222224(asin+bcos)t+2bccost-b=0,如图1,设直线BD的倾斜角为,由ACBD由t的几何意义可得:可知直线AC的倾斜角为+.又因为BD、AC分22
17、AB
18、=
19、t1-t2
20、=(
21、t1+t2)-4t1t2别过椭圆的左、右焦点F1、F2,于是由定理可得222bccos2-4b=(-2222)-2222asin+bcosasin+bcosH43
22、BD
23、=22=2,1-ecos3-cos辅教导学数学通讯2011年第3期(上半月)23H43b25
24、AC
25、==2.e=1+()=.223-sina21-ecos(+)2()设过焦点F的直线AB的倾斜角为,则四边形ABCD的面积=+,cos=-sin.12S=
26、BD
27、
28、AC
29、2122
30、()1434396sin2=tan=2=1,=22=2.2123-cos3-sin24+sin21+tan251+()22[0,),sin2[0,1].2196cos=.S[,4],52522bb96双曲线的通径H==2b=b.故四边形ABCD面积的最小值为.aa25又设直线AB与双曲线的交点为M、N,于是例2(2008年全国卷理第21题)双曲线H的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别由定理可得:
31、MN
32、=22=4,即1-ecos为l1、l2,经过右焦点F垂直于
33、l1的直线分别交l1、b=4,解得b=3,从而a=6.l2于A、B两点.已知OA、AB、OB成等差5211-()数列,且BF与FA同向.2522()求双曲线的离心率;xy所求的椭圆方程为-=1.369()设AB被双曲线所截得的线段的长为4,例3(2010年辽宁理科求双曲线的方程.22xy第20题)设椭圆C:2+2ab=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60,AF=2FB.图3图2()求椭圆C的离心率;22解()设双曲线的方程为xy15a2-b2=
34、1(a>()如果AB=,求椭圆C的方程.40,b>0),OA、AB、
35、OB
36、成等差数列,设解()设直线AB的参数方程为AB=m,公差为d,则OA=m-d,OB=m1x=-c+tcos60=-c+t+d,(m-d)2+m2=(m+d)2,即m2-2dm2(t为参数),2222m3+d+m=m+2dm+d,d=.y=tsin60=t42223
