慎用椭圆参数方程解题.pdf

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1、34
(2010年第8期∀高中版)






∀解题研究∀慎用椭圆参数方程解题441200
湖北省枣阳市第二中学
龚
兵
李培锋

引参,消参,换元法是数学解题的一种重要方法

对于第(2)问学生们经常会出现以下错解:由椭圆及技巧.借用参数可以架起未知变量之间的桥梁,减少的参数方程可设点M3cos,sin,N(3cos(+),运算量,达到化繁为简,化难为易的目的.在运用时一方2面要注意参数的取值范围,保证换元前后的等价性,另sin(+)),即N-3sin,cos,2一方面要注意参数的几何或代数意

2、义必须要清晰.对于22椭圆的参数方程,很多学生由于未能深入理解参数的几#MN=3cos+3sin+sin-cos何意义,没有准确把握椭圆参数方程中点A的离心角与=4-2sin2,OA的倾斜角的区别与联系,从而导致错误.本文摘取学5生的几例典型错误加以分析,希望能引起同学们注意.即=4,=4时,MN取最小值为2.例1
已知椭圆
的中心在原点O,焦点在x轴上,x=acos,剖析
该解法中错将参数方程中点M直线l:x+3y-3=0与
交于A,B两点,AB=2且y=bsin的离心角看成是直线OM的倾斜角,

3、得出点N的坐标!AOB=.2是错误的.(1)求椭圆
的方程;2x2(2)若M,N是椭圆
上两点,满足OM∀ON=0,求正解
由M,N是椭圆
:3+y=1上的点且OM

4、MN

5、的最小值.∃ON,故可设x+3y-3=0,分析
第(1)问通过联立方程x2y2利2+2=1,ab用弦长公式及OA∀OB=0,运用设而不求的方法很容易2x2求出椭圆方程+y=1.3图111图象与x轴的负半轴有交点,求实数m的取值范围.

解
由上分析可得N(a)=f()=1-,而aa分析
因函数图象与x轴的负半轴有交点,则方程f(1)=

6、a-1,f(3)=9a-5,2(m-2)x-4mx+2m-6=0在区间(-∋,0)内有实1则(1)当9a-5%a-1,即&a&1时,则有根,先由对称轴的位置分类,再考虑二次项系数的正负,2然后考虑判别式的值和区间端点函数的取值.M(a)=f(3)=9a-5,解
(1)当m-2=0,即m=2时,由-8x-2=0,有1则g(a)=M(a)-N(a)=9a+-6;1ax=-
函数f(x)与x轴的负半轴有一个交点.411(2)当9a-5

7、轴为则有M(a)=f(1)=a-1,2m>0,2m%0,2m12mm-2m-2<0,故g(a)=M(a)-N(a)=a+-2.x=,故有或或m-2am-2m-2>0,m-2<0,!%0,111f(0)<0,f(0)>0,a+-2(&a<),a32则2

8、∀高中版)35

Mr1cos,r1sin(为OM的倾斜角),到一个四边形ABCD,记其面积为S,求面积S的最小值.Nr2cos+,r2sin+,22错解
由椭圆的对称性即N-r2sin,r2cos,代入椭圆方程得到可知,四边形ABCD为菱形,222cos+sin2=1,r2sin+cos2=1,由椭圆的参数方程可设点Ar1233的坐标为Aacos,bsin,其图21114从而2+2=+1=
中0&&,rr33122222211r1r2又因为r1+r2∀2+2=2+2+2%4,因为OA∃OB得

9、点Bacos+,bsin+,r1r2r2r122224化简为B-asin,bcos,即r1+r2∀%4,3则S=4S)AOB=2OA∀OB,222#MN=r1+r2%3,即MN%3,故所求代入得到22222222MN的最小值为3.S=2acos+bsin∀asin+bcos,x=4cos∀,化简整理得例2
设M为椭圆(∀为参数)上的y=23sin∀,222122222S=2a-b∀sin2+ab%2ab=2ab,4一点,且!xOM=,求点M的坐标.3当sin2=0时取等号,所以此时S有最小值2ab.

10、剖析
错解混淆了参数方程中点A的离心角与OA错解
将∀=!xOM=直接代入椭圆的参数方程3的倾斜角的概念,得出B的坐标是错误的,显然该题的得:x=4cos=2,y=23sin=3,所以点M的坐标为结论也错了.33正解
设OA=r1,OB=r2,点A、B的坐标分别为2,3.剖析
上面的解法中错把!xOM当成了点M对应Ar1cos,r1sin,Br2cos+2,r2sin+2,的角参数∀.该椭圆上满足!xOM=的点M可能在第即B(-r