椭圆的参数方程(教案)

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1、8.2椭圆的几何性质（5）一一椭圆的参数方程（教案）齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25一.目的要求:1.了解椭圆参数方程，了解系数a、b、$含义。2.进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。3.培养理解能力、知识应用能力。二.教学目标：1.知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。2.能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参数方程解决相关问题。3.德育R标：通过对椭闢多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。重点难点:1.重点：由方程研究曲线的方法；

2、椭圆参数方程及其应用。2.难点：椭閫参数方程的推导及应用。四.教学方法：引导启发，计算机辅助，讲练结合。五.教学过程:（—）引言（意义）人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识（二）预备知识（复习相关）1.求曲线方程常用哪几种方法？答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。2.举例：含参数的方程与参数方程Iy=例如：y=kx^-（A参数）含参方程，而（Z参数）是参数方程。[y=4f+11.直线及圆的参数方程？各系数意义？（三）推导椭圆参数方程1.提出问题（教科书例5）例题.如图，以原点为閼心，分

3、别以a、b（a>b>0）为半径作两个閼。点B是大圆半径0A与小圆的交点，过点A作AN丄Ox,垂足为N,过点B作BM丄AN,垂足为M。求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程。2.分析问题本题是由给定条件求轨迹的问题，但动点较多，不易把握。故采用间接法一一参数法。引导学生阅读题目，回答问题：（1）动点M是怎样产生的？M与A、B的坐标有何联系？（2）如何设出恰当参数？设ZAOX=p为参数较恰当。3.解决问题（板演）解：设点M的坐标（x，y）,识是以Ox为始边，OA为终边的正角，取识为参数，那么x=ON=

4、OA

5、cos识，y=NM=

6、OB

7、sinp即x=acos（P①引为点M的轨迹参数

8、方程，识为参数。[y=bsincp4.更进一步（板演：化普通方程）X—-cos0分别将方程组①的两个方程变形，得〃两式平方后相加,—=sin69[b.2消去参数得方程冬+4=1由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。p为参数，为离心角，常数a、b分别是椭圆长半轴和短半轴长。5.加深理解（1）椭圆参数方程=（p为参数），参数冇明显几何意义y=/?sincp离心角$与ZMOX一般不同。参数方程提供了设点的方法•2.2（2）椭圆参数方程与普通方程可互相转化。“设参一一消参”。（3）朴綱的参数方程也可由＞+爹=1（a〉⑽三舰元直接得出即令三=cosp,2=sinp。双曲线也有类似换

9、元b（4）可仿P95例3,将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方程）参数方程的应用（例题分析）例1.参数方程普通方程互化（1）x二3cos汐zx0V2W⑵"十1例2.练习：参数方程普通方程互化（1）x=8cosfy=lOsiiU例3.在椭圆？+8/=8上求点P，使P到L:x-y+4=0的距离最小。分析1:（B标函数法）设P（x，y）为椭圆上任一点，由x2+8./=8得义=±办-8/，则P到L的距离J=l±A/S~Sl~y+41V2再想办法求最值，但太繁不可取。分析2:（几何法）把直线L平移到U与椭圆相切，此时切点P为所求的点。即设L1:x-y+m=0,x-y^-m=O田整理得9y2-2

10、my+m2-8=0.

11、4-3

12、此时p（_

13、，去）由△=4m2-4•9（m2-8）=0得m=±3.如图可知m=3时最小.可计算平行线间的距离，分析3:（参数法）设P（27^cos识，sin炉），则有“

14、2WCOS^Zsi叫+4

15、=

16、3sil抑;1的+41，其中伽0=2々V2V2当。-、=-＞，碎最小值42a/23’Sin^C°S^iB'JP(33方法小结：（1）本题运用参数方程比普通方程简单（2）当直接设点的坐标不易求解时，可尝试建立参数方程例4.P（x，y）为椭圆i+y2=1上任一点，求2x+y的最大值4例5.设椭圆X=4COS6TV=2^3sina（汉是参数）上一点P，使OP与x轴正

17、向所成角ZPOX=f，求P点坐标。3分析：本题容易产生错误：认为a』，代入椭圆参数方程3x=2，y=3,从而P（2，3）。事实上，若注意P对应参数G与ZPOX关系，可避免此误。解：设P（4cos6Z，2V3sin6Z）,由P与x轴正向所成的角为三，3/.tan—=2~3sina，即tan6Z=2.而sin汉〉0，cos汉＞0,34cos6ir•••cosa=...p点、坐标为今5教学小结:1.坐标法推导出椭圆的参数方程，学习了a、b、p的几何意