椭圆及其标准方程教学设计 (2).doc

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1、椭圆及其标准方程(第1课时)双辽一中辛玉美教学及培养目标 理解椭圆的定义,明确焦点、焦距的概念,掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程;进一步学习类比、数形结合的数学思想方法,理解坐标法及其应用.通过让学生积极参与,亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程,体验坐标法在处理几何问题中的优越性;在探索椭圆标准方程过程中,培养分析和概括能力. 教材处理的建议重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.难点:椭圆标准方程的推导与化简.教学技巧与辅助手段 运用多媒体(ppt)和实物投影仪等辅助教学. 教学探究过程 一、创设问题情景、引出概念在生活中,除椭圆外,还有抛物线、双曲线等例子.再运用多媒体演示一

2、个平面截圆锥的各种情形,向学生介绍“圆锥曲线”这个名称的来历. 教师指出:椭圆在实际生活中是很常见的,学习椭圆的有关知识也是十分必要的. (说明:本环节由实际例子引入,让学生形成椭圆的感性认识,感受数学的应用价值,明白生活实践中有许多数学问题,数学来源于实践,同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力.) 二、引导学生探究尝试、归纳提炼形成概念引导:曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹,那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢?要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹,首先要知道椭圆的几何特征.学生实验:按课本上介绍的方法,学生用一块纸板,两个图钉,一根无弹性的细绳尝试画椭圆.让学生

3、自己动手画图,同桌相互切磋,探讨研究.(提醒学生:作图过程中要注意观察椭圆的几何特征,即椭圆上的点要满足怎样的几何条件?) (说明:按学生的认识规律与心理特征,设置一系列递进的问题,让学生动手实践,在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件,从而认识椭圆概念.) 启发、归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于

4、F1F2

5、)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 引导学生找定义的关键处: ①平面曲线; ②任意一点到两个定点的距离的和等于常数; ③常数大于

6、F1F2

7、. (说明:实验中发现椭圆的几何特征,可以挖掘出椭圆

8、定义的内涵,使得学生对椭圆的定义留下深刻印象.) 三、椭圆标准方程的推导 由老师带学生回忆圆的方程的建立过程,归纳求曲线方程的一般步骤:建系设点列出方程化简方程.建系一般应遵循简单、优化的原则. (说明:温故而知新,类比圆的方程的建立过程,归纳出求曲线方程的一般步骤,为下一步学习做好铺垫.) 探究二 怎样建立坐标系,才能使求出的椭圆方程最为简单? (说明:正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一,结合建立坐标系的一般原则──利用曲线的几何特征,特别是对称性,可以使曲线方程简单化.可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨,最后让学生选择合理的坐标系.) 经学生讨论易得如下方案: 1

9、.建系.取过焦点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立坐标系.  2.设点.设为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是().则.又设M与距离之和等于(). 3.列式.依据椭圆的定义,有 . ,, . 教师启发:这个方程形式复杂,应该化简.化简的目的是去掉根式,可两边平方.但这里有两个根式,如何平方更简捷? 引导学生得出:应该用移项平方,再移项再平方的方法. (说明:在解决解析几何问题中,熟练运用代数变形技巧是十分重要的,学生常因运算能力不强而功亏一篑.在此应抓住机会加强运算技能的训练.) 4.化简.通过移项,两次平方后得到:              ,  两边同除以,得.  (※) 由椭圆

10、的定义可知,,即, 思考:观察上图,能从中找出表示的线段吗?由图可知,.令,那么(※)就是 .() 此即为椭圆的标准方程.它所表示椭圆的焦点在轴上,焦点是,中心在坐标原点的椭圆方程.  探究三:如果椭圆的焦点F1,F2在y轴上,线段F1F2的垂直平分线为x轴,a,b,c意义同上,椭圆的方程形式又如何? 学生讨论、交流,合情猜想可得,焦点变成,只要将方程中的调换,即可得(),它所表示的是焦点在轴上的椭圆标准方程. 要求学生课后推导验证. (说明:发挥学生的直觉思维,类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程.) 引导学生注意理解以下几点: ①在椭圆的两种标准方程中,都有的要求; ②在椭圆的两种

11、标准方程中,由于,所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上; ③椭圆的三个参数之间的关系是,其中大小不确定. 四、研究例题、形成技能 例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(0,-4),F2(0,4),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10,求它的标准方程. (先让学生分析解题思路.强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性.) 解:因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为     . 因为2a=10,2c=8,所以a=5,b=4. 所以,

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