奇异值分解与极分解.ppt

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1、矩阵论电子教程哈尔滨工程大学理学院应用数学系矩阵的分解第四章设，是的特征值，是的特征值，它们都是实数。如果记§4.5矩阵的奇异值分解与极分解一,矩阵的奇异值分解因为与都是半正定的Hermite-矩阵特征值与之间有如下关系。定义1:我们称:为矩阵的正奇异值，简称奇异值。定理1：设，那么即:与的非零特征值相等.例1：求下列矩阵的奇异值解：（1）由于显然的特征值为5，0，0，所以的奇异值为（2）由于显然的特征值为2，4，所以的奇异值为。定义2:设,若则称A与B酉等价.定理2:若,且酉等价,则A与B有相同的正奇

2、异值定理3：设，是的个奇异值，那么存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得其中，且满足我们称此定理为奇异值分解定理。称表达式为矩阵的奇异值分解式。如何求此分解表达式？以下给出步骤:证明：记的特征值为因为是正规阵，所以令，其中是矩阵，是矩阵。则：比较后得到：………（1）………（2）………（3）………（4）令，则由（1）知，所以，是次酉阵即，所以，存在，使得：所以所以，由（4）………（4）所以从而：又因为所以，，得出所以1,求出的全部特征值,则为A的正奇异值,2,求酉矩阵,使得:4,3,设,则为次酉阵,于是求,使得例1：

3、求下列矩阵的奇异值分解表达式解:（1）容易计算的特征值为5，0，0，所以的奇异值为。下面计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量由这三个标准正交特征向量组成矩阵，所以有令练习：求下面矩阵的奇异值分解式使得:且这样的分解式是唯一的。同时有:称分解式为矩阵的极分解表达式。二,矩阵的极分解定理1:设，那么必存在酉矩阵与正定的H-矩阵与半正定H-矩阵使得:且满足定理2：设，则存在GoodBye