奇异值分解及应用.ppt

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1、定理：设则存在使得右式称为矩阵A的等价标准型酉等价：设若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得则称A与B酉等价。矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。第一节奇异值分解引理1证明设是AHA的特征值，x是相应的特征向量，则AHAx=x由于AHA为Hermite矩阵，故是实数。又同理可证AAH的特征值也是非负实数。证明设x是方程组AHAx=0的非0解，引理2则由得对于Hermite矩阵AHA，AAH，设AHA，AAH有r个非0特征值，分别记为即：AHA与AAH非0特征值相同，并且非零特征值的个数为奇异值的定义说明：A的正奇异值个数等于，并且A与AH有相同的奇异值。定理酉等价的矩阵有相

2、同的奇异值由奇异值分解定理设A是秩为的则存在阶酉矩阵矩阵,与阶酉矩阵使得其中为矩阵A的全部奇异值.①证明设矩阵的特征值为则存在n阶酉矩阵，使得将分块为其中，分别是的前r列与后列.②并改写②式为则有由③的第一式可得③由③的第二式可得令，则，即的r个列是两两正交的单位向量.记因此可将扩充成标准正交基，记增添的向量为，并构造矩阵则是m阶正交矩阵,且有于是可得称上式为矩阵A的奇异值分解.推论在矩阵A的奇异值分解A=UDVH中，U的列向量为AAH的特征向量，V的列向量为AHA的特征向量.1]求矩阵AHA的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵V;5]构造奇异值分解4]扩充U1为酉矩阵U=(U1,U2)3]令2]记

3、奇异值分解方法1—利用矩阵AHA求解例1、求矩阵的奇异值分解可求得的特征值为对应的特征向量依次为于是可得：令其中计算：构造：则的奇异值分解为奇异值分解方法2--利用矩阵AAH求解1]先求矩阵AAH的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵U;4]扩充V1为酉矩阵V=(V1,V2)5]构造奇异值分解2]记3]令例求矩阵A的奇异值分解利用矩阵AAH求解第二节奇异值分解的性质与应用1.奇异值分解可以降维A表示个维向量，可以通过奇异值分解表示成个维向量.若A的秩远远小于和,则通过奇异值分解可以降低A的维数.可以计算出，当时，可以达到降维的目的，同时可以降低计算机对存贮器的要求.2.奇异值对矩阵的扰动不敏感特征值对

4、矩阵的扰动敏感.在数学上可以证明，奇异值的变化不会超过相应矩阵的变化，即对任何的相同阶数的实矩阵A、B的按从大到小排列的奇异值和有3.奇异值的比例不变性,即的奇异值是A的奇异值的倍.4.奇异值的旋转不变性.即若P是正交阵，PA的奇异值与A的奇异值相同.奇异值的比例和旋转不变性特征在数字图象的旋转、镜像、平移、放大、缩小等几何变化方面有很好的应用.5.容易得到矩阵A的秩为的一个最佳逼近矩阵.A是矩阵的加权和，其中权系数按递减排列：假设推荐系统中有用户集合有6个用户，即U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}，项目（物品）集合有7个项目，即V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}，用户

5、对项目的评分结合为R，用户对项目的评分范围是[0,5]，如图所示。推荐系统推荐系统的目标就是预测出符号“？”对应位置的分值。推荐系统基于这样一个假设：用户对项目的打分越高，表明用户越喜欢。因此，预测出用户对未评分项目的评分后，根据分值大小排序，把分值高的项目推荐给用户。矩阵分解目标就是把用户-项目评分矩阵R分解成用户因子矩阵和项目因子矩阵乘的形式，即R=UV，这里R是n×m，n=6，m=7，U是n×k，V是k×m，如图所示。