特征值分解及奇异值分解在数字图像中的应用

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1、特征值分解及奇异值分解在数字图像中的应用摘要：目前，随着科学技术的高速发展，现实生活中有大量的信息用数字进行存储、处理和传送。而传输带宽、速度和存储器容量等往往有限制，因此数据压缩就显得十分必要。数据压缩技术已经是多媒体发展的关键和核心技术。图像文件的容量一般都比较大，所以它的存储、处理和传送会受到较大限制，图像压缩就显得极其重要。当前对图像压缩的算法有很多，特点各异，类似JPEG等许多标准都已经得到了广泛的应用。本文在简单阐述了矩阵特征值的数值求解理论之后，介绍了几种常用的求解矩阵特征值的方法，并最终将特征值计算应用到图像压缩中。以及奇

2、异值分解(SingularValueDecomposition，SVD)。奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法，在信号处理、模式识别、数字水印技术等方面都得到了应用。由于图像具有矩阵结构，有文献提出将奇异值分解应用于图像压缩[2]，并取得了成功，被视为一种有效的图像压缩方法。本文在奇异值分解的基础上进行图像压缩。关键词：特征值数值算法；奇异值分解；矩阵压缩；图像处理引言矩阵的特征值计算虽然有比较可靠的理论方法，但是，理论方法只适合于矩阵规模很小或者只是在理论证明中起作用，而实际问题的数据规模都比较大，不太可能采用常规的理论解法。计算

3、机擅长处理大量的数值计算，所以通过适当的数值计算理论，写成程序，让计算机处理，是一种处理大规模矩阵的方法，而且是一种好的方法。常用的特征值数值方法包括幂法、反幂法、雅克比方法、QR分解法等。其中，幂法适用于求解矩阵绝对值最大的特征值，反幂法适合求解矩阵的逆矩阵的特征值，雅克比方法适合求解对称矩阵的特征值，QR分解法主要使用于求中小型矩阵以及对称矩阵的全部特征值。矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，变换的效果当然与方阵的构造有密切关系。图像压缩处理就是通过矩阵理论减少表

4、示数字图像时需要的数据量，从而达到有效压缩。数字图像的质量很大程度上取决于取样和量化的取样数和灰度级。取样和量化的结果是一个实际的矩阵。图像压缩是数据压缩技术在数字图像上的应用，它的目的是减少图像数据中的冗余信息从而用更加高效的格式存储和传输数据。图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。图像数据的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性引起的时间冗余；不同彩色平面或频谱带的相关性引起的频谱冗余。图像矩阵A的奇异值（SingularValue）及其特征空间反映了图像中的不同成分和特征。奇

5、异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法，在信号处理、模式识别、数字水印技术等方面都得到了应用。本文中我们主要讨论矩阵特征值求解及奇异值分解在图像压缩上的应用。特征值分解及奇异值分解在数字图像中的应用一．特征值在图像处理中的应用1．特征值求解的数值方法我们首先介绍几种常用的求解特征值的数值方法。（1）幂法。幂法就是求矩阵的绝对值最大的特征值和相应特征向量的方法。如果是矩阵A的特征值，并且其绝对值比A的任何其他特征值的绝对值大，则称它为主特征值。相应于主特征值的特征向量称为主特征向量。如果特征向量V中绝对值最大的分量为1，则称其是归一化的。

6、设矩阵A有一个主特征值，而且对应于有唯一的归一化特征向量V，通过下面称为幂法的迭代过程可求出特征对，V。从初始向量开始，用如下递归公式递归生成序列，，，其中是绝对值最大的分量。序列和将分别收敛到V和：，注：如果是个特征向量且，则必须选择其他初始向量（2）反幂法。反幂法可以用来计算矩阵绝对值最小的特征值及其对应的特征向量。设A是n阶非奇异矩阵，有n个线性无关的特征向量，它们对应于特征值，满足不等式，其中。因为A非奇异，所以，由得。所以的特征值是A的特征值的倒数。计算A的绝对值最小的特征值的问题就是计算绝对值最大的特征值的问题，于是可用幂法求

7、出的绝对值最大的特征值，即A的绝对值最小的特征值。计算方法如下。其中为初始向量。（3）雅克比方法。雅克比方法的基本思想是通过一系列的由平面旋转矩阵构成的正交变换将实对称矩阵逐步化为对角阵，从而得到全部特征值及其相应的特征向量。2．矩阵的特征值求解在图像压缩中的应用利用矩阵分解以及矩阵特征值的求解方法，可以将其应用到很多方面，例如矩阵压缩、马尔科夫过程、天气预报等等，我们这里简单介绍其在图像压缩方面的应用。矩阵的压缩是指利用矩阵的分解之后，提取特征值较大的特征值，舍弃比较小的特征值。还是因为在矩阵理论中，特征值代表了信息量，所以保留比较大的

8、特征值、舍弃比较小的特征值，可以达到矩阵压缩的目的。而图像压缩由于使用特征值分解压缩图片存在着不可靠性，所以采用一种新的矩阵分解方法来提取数字图像的特征信息，那就是矩阵的奇异值分解。奇异值分解