矩阵的奇异值分解在数字图像处理的应用.doc

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1、矩阵的奇异值分解在数字图像处理的应用浅析学院：···专业：··姓名：··学号：··2011年11月6日-9-目录一、绪论-1-二、数字图像处理简介-2-三、矩阵的奇异值分解原理-4-3.1矩阵的奇异值-4-3.2矩阵的奇异值分解（SVD）-4-四、奇异值分解的图像性质-5-五、图像的奇异值分解压缩方法-7-5.1奇异值分解压缩原理分析-7-5.2奇异值分解压缩应用过程-8-六、小结-9--9-一、绪论目前，随着科学技术的高速发展，现实生活中有大量的信息用数字进行存储、处理和传送。而传输带宽、速度和存储器容量等往往有限制，因此数据压缩就显得十分必要。数据压缩技术已经是多媒体发展的关键和核心

2、技术。图像文件的容量一般都比较大，所以它的存储、处理和传送会受到较大限制，图像压缩就显得极其重要。当前对图像压缩的算法有很多，特点各异，类似JPEG等许多标准都已经得到了广泛的应用。奇异值分解(SingularValueDecomposition，SVD)是一种基于特征向量的矩阵变换方法，在信号处理、模式识别、数字水印技术等方面都得到了应用。由于图像具有矩阵结构，有文献提出将奇异值分解应用于图像压缩[2]，并取得了成功，被视为一种有效的图像压缩方法。本文在奇异值分解的基础上进行图像压缩。-9-二、数字图像处理简介首先，简单介绍一下数字图像处理。人们对数字图像都应该很熟悉。我们在计算机上看

3、到的图像，数码相机拍到的图像，雷达图像，人体MRI图像等等。数字图像处理是指用计算机对图像进行分析处理，以达到所需结果的技术。图像处理的内容十分广泛，具体而言，可以分为：图像获取、图像增强、图像复原、图像压缩、图像分割等。这些内容都是基于矩阵的处理得到的。下面举例介绍几个重要的应用。图像获取是图像处理的第一步。图像获取有很多方法，最常用的方法就是用传感器如数字摄像机、扫描仪等设备得到。数字图像处理的定义：我们可以将一幅图像定义为一个二维函数，这里和是空间坐标，在空间坐标上的幅值称为该点图像的强度或灰度。对于数字图像而言，和幅值都是有限的、离散的。这样一幅图像就可以用一个二维函数来表示。模

4、拟图像不利于计算机处理，所以我们常常将模拟图像转换为数字图像。模拟图像转化为数字图像的方式是：取样和量化。我们将坐标值离散化称为取样，将幅度值离散化称之为量化。经过取样和量化的图像是一幅数字图像。数字图像的质量很大程度上取决于取样和量化的取样数和灰度级。取样和量化的结果是一个实际的矩阵。这个矩阵可以表示为更一般的矩阵表达方式为：-9-图像压缩是数据压缩技术在数字图像上的应用，它的目的是减少图像数据中的冗余信息从而用更加高效的格式存储和传输数据。图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。图像数据的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空间冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性

5、引起的时间冗余；不同彩色平面或频谱带的相关性引起的频谱冗余。图像压缩可以是有损数据压缩也可以是无损数据压缩。无损图像压缩方法主要有行程长度编码、熵编码法如LZW；有损压缩方法主要有变换编码，如离散余弦变换（DCT）或者小波变换这样的傅立叶相关变换，然后进行量化和用熵编码法压缩和分形压缩（fractalcompression）。图像矩阵的奇异值（SingularValue）及其特征空间反映了图像中的不同成分和特征。奇异值分解(SingularValueDecomposition，SVD)是一种基于特征向量的矩阵变换方法，在信号处理、模式识别、数字水印技术等方面都得到了应用。我们主要讨论奇异

6、值分解在图像压缩上的应用。-9-三、矩阵的奇异值分解原理3.1矩阵的奇异值设，，是的特征值，是的特征值，它们都是实数。且设则特征值与之间的关系为：，。设，的正特征值，的正特征值，称，是的正奇异值，简称奇异值。若是正规矩阵，则的奇异值是的非零特征向量的模长。3.2矩阵的奇异值分解（SVD）若，是的个正奇异值，则存在阶酉矩阵和阶酉矩阵，满足：其中，，为奇异对角阵。满足是对角阵，满足是对角阵。的第列为的对应于奇异值对应的左奇异向量，的第列为的对应于奇异值对应的右奇异向量。它们的每一列均为单位向量，且各列之间相互正交。若，是的个正奇异值，则总有次酉矩阵，满足：，其中。奇异值分解是一种基于特征向量

7、的矩阵变换方法。奇异值分解是现代数值的最基本和最重要的工具之一。-9-四、奇异值分解的图像性质任意一个矩阵的奇异值是唯一的，它刻画了矩阵数据的分布特征。直观上，可以这样理解矩阵的奇异值分解：将矩阵看成是一个线性变换，它将维空间的点映射到维空间。经过奇异值分解后，这种变换被分割成3个部分，分别为、和，其中和都是标准正交矩阵，它们对应的线性变换就相当于对维和维坐标系中坐标轴的旋转变换。若为数字图像，则可视为二维时频信息，可将的奇异值分解