数学建模国奖作品.doc

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1、创意平板折叠桌摘要本文研究分析了一种平板折叠桌的结构特点，这种平板折叠桌在闲置时可以折叠成一张厚木板；腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度打开后可以展开成一张桌子。非常方便实用，而且造型新颖，美观大方。针对第一问，本文通过对题中的图片信息以及所给的附件当中的视频信息，利用编程，对该创意平板折叠桌桌面进行了多次的拟合。在满足题目的要求下，本文对圆周的直线插补做了多种方案。在其中的一种方案加入了黄金分割比对桌面的尺寸进行

2、了修改，得到了符合实际而且美观的尺寸。然后在桌面上建立坐标系计算出了每个桌腿的长度，并通过几何关系计算出了开槽长度。然后用计算出的数据制作了小桌的三维模型。最后进行了动态模拟，用求出线型数学描述。针对第二问中提出对任意跟定桌面的直径与高度，设计出稳固性好，加工方便，用材最省的桌体。本文在解决中首先综合以上三个因素对桌体进行设计。最后得出最有设计方法。然后联系问题列出约束方程，以最简单的方法联合空间投影，求解出未知参数。其中最为主要的就是将复杂问题简单准确求解。针对第三问中提出开发一种折叠桌设计软件，本文根据客户任意设

3、定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出了所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。本文中针对模型提出的问题进行了详细的回答，其中创造性的提出用黄金分割比的方法来确定最边缘木条与次边缘木条的长比关系，很实用，也很方便，更是使设计美观；其次在模拟实物时使用了机械设计加工软件CATIA，作出了精美正确的模拟实物图；再者在曲线拟合上使用了CAD、MATLAB等实用性软件，使曲线更接近真实值；并且本文中所有公式都是由最基础的表达式变化而来，未引进任

4、何专家论文公式；最后本文采用了VB程序设计来编写数学模型。但是，本文针对问题提出的解答还有不足，如对已知任意形状桌面和高度的木板进行设计，思维和计算量过大。关键词：圆周拟合插补算法编程动作仿真草图绘制33一、问题的提出(1).给定了长方形平板的三围尺寸：，其中作为桌腿的每根木条宽度是，贯穿所有桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数，包括桌腿木条开槽的长度等，以及桌脚边缘线的数学描述。(2).在保证产品稳固性、易加工性和

5、经济性的前提下求出最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高，桌面直径的情形，确定最优设计加工参数。(3).设计一个软件帮助公司根据客人要求任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。二、问题分析对于第一问，我们组利用软件设计了一个可以对圆周进行拟合的简易程序

6、。通过这个程序，对圆弧进行了拟合。在实验多次之后，我们找到了一个可以不错的表达出这个圆形桌面大体轮廓而又不致太失真的插补方法。在通以上算法求出的构建尺寸，通过制作了构建的立体结构，然后装配成了题目中的折叠小桌。然后用的运动仿真，作出了小桌的运动过程。三、符号说明木条桌腿的编号，代表象限，代表桌腿的编号桌面去掉桌腿的编号，代表象限，代表桌腿的编号桌腿与桌面交线到钢筋节点的间距相邻木条端部间距33木条与桌面夹角槽下端到桌腿下端的距离桌腿的槽长四、模型假设1.假设中间的两根木条长度相等，且折叠木桌是对称结构。2.折叠木桌桌

7、腿与桌面之间的铰链为普通圆柱铰链。3.各个构建之间充分润滑，可以自由转动，摩擦阻力忽略不计。五、问题一的模型建立与求解问题一的求解5.1.1平板折叠桌桌面插补算法的建立及结果我们组先把桌面假设成为圆形的，然后在在圆面上面以圆的中心为坐标原点，以相互垂直的过圆心的直线作为坐标系的轴和轴。如图1：图1建立如图的直角坐标系33建立好直角坐标系以后，就开始进行圆周的拟合。从坐标系中可以看出，由于圆的半径已知，因此可以很容易的写出圆的方程。已知圆的方程以后，带入值以后就可以求出该点到轴的距离（即值），在题目中已知了每一个木条的

8、宽度都是，那么就可以选定一个值（）作为第一根木条（从第一象限顺时针方向计数）落在圆周上的点。例如图4：交点2交点3交点1圆弧1圆弧3圆弧2桌腿图2桌腿与圆周交点情况示意图图2中的绿色线代表木条的宽度，那图2中的黄、蓝、棕三条圆弧与代表木条的绿色线段有不同的交点，这取决于选择绿色线段上的哪一点来拟合圆周。由于每根木条的宽度都相等，等于（图2中的绿