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1、数学分析试卷及答案【篇一：数学分析三试卷及答案】lass=txt>一.计算题（共8题，每题9分，共72分）。111.求函数f(x,y)??在点(0,0)处的二次极限与二重极限.yx11解：f(x,y)???，因此二重极限为0.……(4分)yx1111因为与均不存在，x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。……(9分)?z?xf(x?y),?y?y(x),2.设?是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别f(x,y,z)?0z?z(x)??dz具有连续的导数和偏导数,求.dx解：对两方程分别关于x求偏导:dy?dz?f(x?y)?xf?(x?y
2、)(?1)，??dxdx?……(4分)dydz?f?f?fz?0。xy?dxdx?dzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.……(9分)dxfy?xf?(x?y)fz3.取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程?2z?2z?z???z。2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey（假设出现的导数皆连续）.22解：z看成是x,y的复合函数如下：wx?yx?y。……(4分)z?y,w?w(?,?),??,??e22代人原方程，并将x,y,z变换为?,?,w。整理得：?2w?2w?2w。……
3、(9分)2???????4.要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?解：设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数:s表?2?rh?2?r2,约束条件:?r2h?1。……(3分)构造lagrange函数：f(r,h,?)?2?rh?2?r2??(?r2h?1)。?fr?2?h?4?r?2?rh??0,令?……(6分)2f?2?r??r??0.?hh?由题意知问题的最小值必存在，当底面半解得h?2r，故有r?径为r?y3高为h?时，制作圆桶用料最省。……(9分)25.设f(y)??
4、e?xydx,计算f?(y).y2解：由含参积分的求导公式?y3y322???x2yf?(y)???2edx???2?x2e?xydx?3y2e?xyy?y?y???2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?yyy3275x?y3?2ye?x2yx?y2……(5分)72?y75?y51y3?x2y?ye?ye?edx。……(9分)222y?y2?x2y2?xy6.求曲线?2?2??2所围的面积，其中常数a,b,c?0.b?c?a?x?a?cos?,解：利用坐标变换?由于xy?0，则图象在第一三象限，从而可y?b?sin?.?2以利用对称性，只
5、需求第一象限内的面积。????????,??0???,0???。……(3分)2??则v?2????(x,y)d?d??2?2d??0?(?,?)??1?ab?2?sin?cos???c?0ab?d?……(6分)ab2sin?cos?d?2?0ca2b2?2……(9分)2c.7.计算曲线积分?3zdx?5xd?,z其中l是圆柱面x2?y2?1与平面y2yd?l22，从z轴的正向看去，是逆时针方向.z?y?3的交线（为一椭圆）解：取平面z?y?3上由曲线l所围的部分作为stokes公式中的曲面?，定向为上侧，则?的法向量为??cos?,cos?,
6、cos????0,。……(3分)?由stokes公式得cos?cos?cos?????3zdx?5xdy?2ydz????x?y?z?l3z5x?2y?ds……(6分)??x2?y2?1???2?……(9分)x2y2z28.计算积分??yzdzdx,s为椭球2?2?2?1的上半部分的下侧.abcs解：椭球的参数方程为x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?，其中,且2?(z,x)?acsin2?sin?。……(3分)?(?,?)积分方向向下，取负号，因此，2322yzdzdx??d?bacsin?cos?sin?d???
7、??2?0???2?,0??????……(6分)??bac2?sin2?d??2sin3?cos?d?2?????4abc2……(9分)二。.证明题（共3题，共28分）?xy322,x?y?0?249.（9分）讨论函数f(x)??x?y在原点(0,0)处的连续性、?0,x2?y2?0?可偏导性和可微性.解：连续性：当x2?y2?0时，xy2x2?y4yyf(x)?2?y????0，当?x,y???0,0?，424x?yx?y22从而函数在原点?0,0?处连续。……(3分)可偏导性：fx?0,0??limf?0??x,0??f?0,0??x?x
8、?0?0，fy?0,0??limf?0,0??y??f?0,0??y即函数在原点?0,0?处可偏导。……(5分)?y?0?0，?f?f?x?f?y3?不存在，从而函
