数学分析三试卷及答案

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1、《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一.计算题（共8题，每题9分，共72分）。1.求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解：，因此二重极限为.……(4分)因为与均不存在，故二次极限均不存在。……(9分)2.设是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.解：对两方程分别关于求偏导:，……(4分)。解此方程组并整理得.……(9分)3.取为新自变量及为新函数，变换方程。设（假设出现的导数皆连续）.解：看成是的复合函数如下：。……(4分)代人原方程，并将变换为。整理得：。……(9分)4.要做

2、一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?解：设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数:,《数学分析(三)》参考答案及评分标准第5页共5页约束条件:。……(3分)构造Lagrange函数：。令……(6分)解得，故有由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。……(9分)1.设,计算.解：由含参积分的求导公式……(5分)。……(9分)2.求曲线所围的面积，其中常数.解：利用坐标变换由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的

3、面积。。……(3分)则……(6分).……(9分)7.计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向.解：取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为《数学分析(三)》参考答案及评分标准第5页共5页。……(3分)由Stokes公式得……(6分)……(9分)8.计算积分,为椭球的上半部分的下侧.解：椭球的参数方程为，其中且。……(3分)积分方向向下，取负号，因此，……(6分)……(9分)二.证明题（共3题，共28分）。9.（9分）讨论函数在原点(0,

4、0)处的连续性、可偏导性和可微性.解：连续性：当时，，当，从而函数在原点处连续。……(3分)可偏导性：，《数学分析(三)》参考答案及评分标准第5页共5页，即函数在原点处可偏导。……(5分)可微性：不存在，从而函数在原点处不可微。……(9分)10.（9分）（9分）设满足：（1）在上连续，（2），（3）当固定时，函数是的严格单减函数。试证：存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。证明：（i）先证隐函数的存在性。由条件（3）知，在上是的严格单减函数，而由条件（2）知，从而由函数的连续性得，。现考虑一元连续函数。由

5、于，则必存在使得，。同理，则必存在使得，。取，则在邻域内同时成立，。……(3分)于是，对邻域内的任意一点，都成立，。固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知，存在的零点使得＝0。而关于严格单减，从而使＝0的是唯一的。再由的任意性，证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。……(6分)（ii）下证隐函数的连续性。设是内的任意一点，记。《数学分析(三)》参考答案及评分标准第5页共5页对任意给定的，作两平行线，。由上述证明知，。由的连续性，必存在的邻域使得

6、，，。对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且，。于是在内存在唯一的一个零点使，即对任意的，它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的。……(9分)11.（10分）判断积分在上是否一致收敛，并给出证明。证明：此积分在上非一致收敛。证明如下：作变量替换，则。……(3分)不论正整数多么大，当时，恒有。……(5分)因此，……(7分)，当时。因此原积分在上非一致收敛。……(10分)注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：尽管对任意的积分一致有界，且函数关于单调，但是当时，关于并非一致趋于零

7、。事实上，取相应地取，则，并非趋于零。《数学分析(三)》参考答案及评分标准第5页共5页