参数方程的应用.doc

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1、参数方程的应用在数学解题方法中,参数法是给人印象最深的一种,对参数方程中参数的几何意义和物理意义的了我解,是正确选取参数的前提,正确的选取参数,往往能使得一些看似复杂的问题,变得简单。一、利用参数方程求点的坐标例1、已知直线1经过点P(1,2),且倾斜角为,求直线1上到点P的距离为的点的坐标。分析:写出1的参数方程之后,要求点的坐标,关键在于对参数t的几何意义的了解。解:直线1的参数方程为x=1+tCosx=1+t(t为参数)y=2+tStn即y=2+t在直线1上到点P的距离为的点所对应的参数t满足

2、t

3、=即t=±

4、,代入1的参数方程,得或。所以,所求点的坐标为(3,4)和(-1,0)例2、已知P为圆x2+y2-6x-8y+21=0上一点,且A(-1,0),B(1,0),求使

5、AP

6、2+

7、BP

8、2为最小值的点P的坐标(x,y)。分析:将圆配方,(x-3)2+(y-4)2=4,圆上动点P用参数形式给出,可使问题简化。解:配方,得(x-3)2+(y-4)2=4圆的参数方程为设P(3+2cosθ,4+2sinθ)为圆上任意一点,则

9、AP

10、2+

11、BP

12、2=(3+2cosθ+1)2+(4+2sinθ)2+(3+2cosθ-1)2+(4+

13、2sinθ)2=60+8(3cosθ+4sinθ)=60+40sin((θ+φ)(其中:φ=arctan)当sin(θ+φ)=-1时,

14、AP

15、2+

16、BP

17、2=取得最小值20。此时,θ+φ=,θ=-φ∴cosθ=-sinφ=-,sinθ=-cosθ=-∴所求点P坐标为(,)一、利用参数方程求长度x=2+tcosθy=1+tsinθy=1+tsin例3、已知椭圆+=1,和点P(2,1),过P作椭圆的弦,使P是弦的中点,求弦长。解:设弦所在的直线方程为:(t为参数)代入椭圆方程,得(2+tcosθ)2+4(1+tsinθ

18、)2=16化简:得(cos2θ+4sin2θ)2+4(cosθ+2sinθ)-8=0P为中点,弦长==例4、已知两圆x2+y2=9和(x-3)2+y2=27,求大圆被小圆截得劣弧的长度。分析:两圆交于A、B两点,大圆圆心(3,0),要求出大圆被小圆截得劣弧的长,就要设法找出的大小,又由两圆对称性可知,只要找出AC与x轴正向夹我有即可。解:设A点的坐标为根据两圆的对称性可设(3+3cosa,3sina)。根据两圆的对称性可设≤a≤π,A也在小圆在,则有(3+3cosa)2+(3sina)2=9即18cosa=-27,

19、cosa=-于是,a=,∠ACB=大圆被小圆截得劣弧长为×=π二、利用参数方程求最值例5、已知椭圆方程为,求它的内接矩形的面积的最大值,x=acosθy=btsinθy=1+tsin解:椭圆参数方程为(θ为参数)设椭圆内接矩形的一个顶点为(acosθ,bsinθ)(θ为锐角)则矩形面积S=4acosθ·bsinθ=2absin2θ≤2ab∴Smax=2ab例6、如图,已知点P在圆上x2+(y-2)2=上移动,点Q在椭圆x2+4y2=4上移动,求

20、pQ

21、的最大值。解:

22、pQ

23、≤

24、PO′

25、+

26、O′Q

27、=+

28、O′Q

29、设Q

30、(2cosa,sina),而O′(0,2)则

31、O′Q

32、2=4cos2a+(sina-2)2=-3(sina+)2+∴

33、O′Q

34、≤  ∴

35、pQ

36、≤ ∴

37、pQ

38、≤的最大值是四、利用参数方程求轨迹例7,已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1),B为抛物线上任意一点,点p在线段AB上,且有BP:PA=1:2,当点B在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程。分析:设点p的坐标为(x,y),点B的坐标为(x0+y0),由于AP:BP=2:1,得x=,y=即x0=,y0=由于B(x0,y0)的抛物线y2=x+1上,或y20=x0+1将

39、②代入③,得()2=+1化简得3y2-2x-2y+1=0即x=y2-y+即x=y2,此轨迹为抛物线。例8,∠MON=60°,边长为a的正三角形APB在∠MON内滑动,使得A始终在OM上,且O、P两点在AB两侧,求P点的轨迹方程。分析建立坐标系后,根据已知条件可知P的位置由∠PBN的变化决定,设∠PBN=θ,θ为参数,只需批出P的坐标(x,y)与θ的关系式,可以得出P点的轨迹的参数方程,参数可分为普遍方程。解:如图建立起直角坐标系,设P(x,y),/PBN=θ,θ为参数,且0≤θ≤∵∠AOB=∠AVP=∴∠OAB=∠

40、PBN=0在△OB中,∵,∴OB=x=OB+acosθ=asinθ+acosθy=asinθy=1+tsin消去θ得(x-y)2+y2=a2即3x2-4xy+7y2-3a2=0而x=asin(θ+actan)(其中0≤θ≤)则arctan≤θ+arctan≤+arctan∴≤sin(θ+arctan)≤1∴≤x≤a所求轨迹方程为3x-4xy+7y2-3a2=

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