案例+投资的收益和风险.ppt

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1、投资的收益和风险1998年全国大学生数学模型竞赛A题问题市场上有n种资产（如股票、债券、……）Si（i=1,2,…,n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用于作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，并预测出购买Si的的风险损失率为qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率

2、是r0，且既无交易费又无风险。（r0=5%）1)已知n=4时的相关数据如下：Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总风险尽可能小。2)试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.

3、6270Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S614393.4397S740.7685.6178S831.233.43.1220S933.653.32.7475S1036.8402.9248S1111.8315.1195S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.6131出题者给出的参考答案一、关于每种资产的交易费、净收益、投资风险及资金约束设购买Si的金额为xi，所需的交易费ci(xi)，则c0(x0)=0,对Si的投资的净收益、风险和所需资金分别为：净收益总额：总体风险：资金约束：二、优化问题的

4、模型：1.模型中有两个目标，下面考虑将模型简化。2.简化为单目标优化问题：2.1.确定平均风险水平，记则，模型简化为：则，模型简化为：2.3.确定投资者对风险－收益的相对偏好参数>0,模型简化为：2.4.将收益与风险相比，模型简化为：或三、模型的进一步简化：因为M相当大，所以总可使对每个Si的投资超过ui，即（1）式可简化为：ci(xi)=pixi(13)并且在作具体计算时，可设M=1，于是(1+pi)xi可视作投资Si的比例。如此，（9）可化为：对于（10）、（11）、（12）的求解，困难在于Q(x)是非光滑函数，难于直接用通常的优化算法和现成软件求解，可采

5、用如下方法处理：（下面以（11）为例说明）（1）将（11）化为n个线性规划LP(k)(i=1,2,…,n)：再在n个LP(k)的最优值中取最小的一个对应的解即为（11）的最优解。2)引入新变量xn+1，求解：这就将模型转化成了一个线性规划模型。按模型(14)将数据代入，求解得：（n=4的情形，M=1）x0x1x2x3x4R(x)Q(x)0.700.990000.2670.0250.800.3690.615000.2170.0090.900.2370.4000.1080.2280.2020.006相应于=0.7,0.8,0.9的最优值L分别为-0.680693

6、1E-01,-0.3591636E-01,-0.1481674E-01.我们在模型(14)的基础上研究第二问,对不同的偏好系数进行计算,发现当对风险的偏好系数大于某一常数时,则将全部资金用于存银行.否则,当对风险的偏好系数小于这一常数时,则将全部资金用于购买其他资产(不存银行).优秀论文评注:我们看到在许多优秀论文中,多数都做了参数规划,绘制了最佳投资的收益与风险的关系曲线图等.计算工具也是多样化,有具体编程的,有随机模拟的,有用Mathematica等.以及在固定(平均)风险模型中,有些队用投资Si的全部费用做基本变量,因此模型为固定风险水平k(为常数),优化

7、投资模型为:由此模型我们容易证明:净收益R取得最大,当且仅当我们把Si中所有gi大的项目都全部投资.因此,要决定投资项目,我们只要对gi安从大到小的顺序排号队即可.