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1、直角三角形中的成比例线段原来学好数学，一点都不难！射影定理学习目的：本课重点：本课难点：使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较多的应用。你知道吗？例2证法有一定的技巧性。一.复习1.已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。1.勾股定理在Rt中，=90,有_____________________.2.直角三角形相似的判定方法(1)一锐角相等(2)任意两边对应成比例.大家先回忆一下：CADB已知直角三角形ABC，CD垂直AB问：1．图中有几个Rt△?2．有几对△相似？3．CD
2、=？AC=？BC=？AD·DBAD·ABBD·BA求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。ADBC已知：在RtΔABC中，CD是斜AB上的高。求证：ΔABCΔACD∽ΔCBD。∽直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。ADBC已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。证明:∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.∴ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两个三角形相似）同理ΔCBD∽ΔABC∴ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD求证：ΔABCΔACD∽ΔCBD∽3.如图，由母子相似定理，得推出
3、：所以：CADB同理，得：CADBAC是AD,AB的比例中项。BC是BD,AB的比例中项。CD是BD,AD的比例中项。那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？这节课，我们先来学习射影的概念。二.新课1.射影：（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子应是什么？（2）线段留在MN上的影子是什么？A’定义：过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在直线l上的正射影，简称射影。ABA’B’l点A'线段AMN.BB’1.射影点在直线上的正射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影线段的两
4、个端点在这条直线上的正射影间的线段。A´AANMNMABA´B´点和线段的正射影简称射影讨论：1．线段在直线上的射影结果点或线段2．直线在直线上的射影结果点或直线各种线段在直线上的射影的情况：ABA’B’lAA’B’BllAA’BB’如图,CD是的斜边AB的高线这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，CD是斜边上的高AD是直角边AC在斜边AB上的射影,BD是直角边BC在斜边AB上的射影。CADB2.射影定理：2.射影定理：由复习得：CADB用文字如何叙述？直角三角形中的成比例线段直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的
5、射影和斜边的比例中项.这就是射影定理2.射影定理：2.射影定理：CADB1．直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项;2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;CADB2.射影定理：具体题目运用：根据应用选取相应的乘积式。利用射影定理证明勾股定理:射影定理只能用在直角三角形中,且必须有斜边上的高3.应用强调:CADB这里犯迷糊，可不行！利用射影定理证明勾股定理:利用勾股定理证明射影定理:CADBAB=(AD＋DB)=AD＋2AD·DB＋DBAC＋BC=ABAC－AD=CDBC－BD=CD探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高
6、。你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ABDC∽∽∽射影定理直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。ABDC用勾股定理能证明吗?∵AB²=AC²+BC²∴(AD+BD)²=AC²+BC²即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-BD²∵AC²-AD²=CD²，BC²-BD²=CD²∴2AD·BD=2CD²∴CD²=AD·BD而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·AB同理可证得BC²=BD·AB总结：已知“直角三角形斜边上的高”这
7、一基本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。ABDC1.ABDC直角△ABC中已知:CD=60AD=25求：BD,AB,AC,BC的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=156如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。例1解:答:CD,AC,BC的边长分别为CADB分析：利用射影定理和勾股定理小结:(1)在中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段AC,BC,CD,AD,DB,AB已知任意两条,便可求出其余四条.(2)射影定理中每个乘积式中,含
