《电动力学》第14讲.ppt

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1、《电动力学》第14讲第二章静电场(6)§2.6静电势的多极展开教师姓名：宗福建单位：山东大学物理学院2016年10月28日山东大学物理学院宗福建2Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建3Maxwell方程组山东大学物理学院宗福建4静电场的标势在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为山东大学物理学院宗福建5静电场的标势定义电势差因此，电场强度E等于电势φ的负梯度山东大学物理学院宗福建6标势的Poisson方程山东大学物理学院宗福建7静电场的标势若电荷连续分布，电荷密度为ρ，设r为由源点x'到场点x的距离

2、，则场点x处的电势为山东大学物理学院宗福建8本讲主要内容电势的多极展开电多极矩电荷体系在外电场中的能量山东大学物理学院宗福建9泰勒级数展开山东大学物理学院宗福建10泰勒级数展开山东大学物理学院宗福建11泰勒级数展开山东大学物理学院宗福建12电势的多极展开真空中给定电荷密度ρ(x̍)激发的电势式中体积分遍及电荷分布区域，r为源点x’到场点x的距离。山东大学物理学院宗福建13电势的多极展开在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而需要求电场强度的地点x又距离电荷分布区域比较远，即r远大于区域V的线度l。在这种情况下，

3、可以表示为1/r的展开式，由此得出电势φ的各级近似值。例如原子核的电荷分布于~10−15m线度的范围内，而原子内电子到原子核的距离~10−10m，因此原子核作用到电子上的电场可以用本节方法求得各级近似值。山东大学物理学院宗福建14电势的多极展开在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离x'点在区域V内变动。由于区域线度远小于R，可以把x'各分量看作小参量，把x−x'的函数对x'展开。山东大学物理学院宗福建15电势的多极展开在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离，有x'点在区域V

4、内变动。由于区域线度远小于R，可以把x'各分量看作小参量，把x−x'的函数对x'展开。山东大学物理学院宗福建16电势的多极展开设f（x−x'）为x−x'的任一函数，在x点附近f（x−x'）的展开式为山东大学物理学院宗福建17电势的多极展开山东大学物理学院宗福建18电势的多极展开山东大学物理学院宗福建19电势的多极展开山东大学物理学院宗福建20电势的多极展开山东大学物理学院宗福建21电多极矩展开式的第一项是在原点的点电荷Q激发的电势。因此作为第0级近似，可以把电荷体系看作集中于原点上。山东大学物理学院宗福建22电多极矩

5、展开式的第二项是电偶极矩p产生的电势。山东大学物理学院宗福建23电多极矩展开式的第三项是电四极矩D产生的电势。山东大学物理学院宗福建24电偶极矩如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶极矩为零。若点x’和−x’点有相同的电荷密度，则积分值为零。因此，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩。总电荷为零而电偶极矩不为零的最简单的电荷体系是一对正负点电荷。设x’点上有一点电荷+Q，−x’点上有一点电荷−Q，这体系的电偶极矩为l为由负电荷到正电荷的距离。山东大学物理学院宗福建25电偶极矩右图具有偶极矩pz=Ql的电偶极子，

6、它产生的电势为山东大学物理学院宗福建26电偶极矩由图，若l<

7、图，z轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系。这体系可以看作由一对电偶极子+p和−p组成。设正电荷位于z=±b,负电荷位于z=±a。这体系的总电荷为零，总电偶极矩为零。山东大学物理学院宗福建32电四极矩它的电四极矩其中p=Q（b−a）是其中一对电荷的电偶极矩，l=b+a是两个电偶极子中心的距离。山东大学物理学院宗福建33电四极矩这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势。山东大学物理学院宗福建34电四极矩这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势。山东大学物理学院宗福建35电四极矩同理，具有D11分量的

8、最简单的电荷体系由x轴上两对正负电荷组成，具有D22分量的体系由y轴上两对正负电荷组成。具有D12分量的电荷体系由xy平面上两对正负电荷组成，余类推。山东大学物理学院宗福建36教材第66页，图2-13，右上角D23应改为D33。山东大学物理学院宗福建37电四极矩下面我们证明电四极矩只有5个独立分量。当R≠0时有引入符号δij，定义为山东大学物理