必修四两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一).docx

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1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)[学习目标]　1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．知识点一　两角和与差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.思考　你能根据两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式吗？请试着推导一下．答案　∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cosβ，sin(－β)

2、＝－sinβ，∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.即cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.知识点二　两角和与差的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.思考　比较cos(α－β)与sin(α＋β)之间有何区别和联系？利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公

3、式．答案　sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscosβ＋sinsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.即sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.题型一　化简求值例1　化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan10°－).解　(1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋co

4、s(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝.(2)(tan10°－)＝(tan10°－tan60°)＝＝·＝－＝－2.跟踪训练1　(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．解　(1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.题型二

5、　给值求值(角)例2　已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，求α.解　∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.∵β∈，sinβ＝－，∴cosβ＝.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.又∵α∈，∴α＝.跟踪训练2　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．解　因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<.又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，所以sin(α－β)＝＝＝，cos(α＋β)＝－＝－＝－.所以sin2α＝sin[(α－β)＋

6、(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×(－)＋×(－)＝－.题型三　三角函数式的化简或证明例3　(1)若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　)A．1B．－1C．0D．±1答案　C解析　因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα＝0.所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β＋sinαcos2β－cosαsin2β＝2sinαcos2β＝0.(2)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，求证：t

7、an(α＋β)＝2tanα.证明　sin(2α＋β)＝3sinβ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα⇒2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα⇒tan(α＋β)＝2tanα.跟踪训练3　证明：－2cos(α＋β)＝.证明　－2cos(α＋β)＝＝＝＝＝.题型四　辅助角公式例4　将下列