两角和与差的正弦余弦正切公式

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1、两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点)2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1　两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α

2、＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈Rcos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于________．【解析】　逆用两角和的余弦公式可得cos75°cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.第21页共21页【答案】　0教材整理2　两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题．1．公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα、β∈R两角差的正弦S(α－

3、β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα、β∈R2.重要结论－辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝，sinθ＝．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．(　　)(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．(　　)(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin

4、30°.(　　)解：(1)√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sinα－sinβ.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(4)√.因为sin54°cos24°－sin36°sin24°第21页共21页＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin(54°－24°)＝sin30°，故原式正确．【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√教材整理3　两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下

5、至“例3”以上内容，完成下列问题．名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．(　　)(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)(3)tan(α＋β)＝等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－ta

6、nαtanβ)．(　　)第21页共21页解：(1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan0＋tan，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子．【答案】　(1)√　(2)×　(3)√[小组合作型]灵活应用和、差角公式化简三角函数式　(1)(2016·济宁高一检测)＝(　　)A．－B．－C．D．(2

7、)化简求值：①；②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)；③(2016·遵义四中期末)tan20°＋tan40°＋tan20°·tan40°.第21页共21页(1)化简求值应注意公式的逆用．(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．解：(1)＝＝＝＝sin30°＝.【答案】　C(2)①原式＝＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－.∴原式＝－.②设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cosα＝＋－cosα＝0.∴原式

8、＝0.③原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan20°·tan40°＝.∴原式＝.第21页共21页1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanα·tanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示出或求出第三个．2．化简过程中注意“1”与“tan”、“”与“tan”、“”与“cos”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．[再练一题]1．化简求值：(1)cos61°cos