高二数学暑期专题辅导材料.doc

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1、暑期专题辅导材料二一.复习内容复习（第五章平面向量）二.知识要点：1.向量的概念：向量是既有大小，又有方向的量。向量的大小（长度）叫做向量的模，模是非负数，可以比较大小，但由于方向不能比较大小，所以，向量不可以比较大小，这是数量与向量的最大差异。2.向量的表示方法：（1）几何表示法。向量可以用有向线段表示，如：A→B3.零向量与单位向量：零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。4.平行向量、相等向量、共线向量。平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。规定0与任一向量平行，平行向量也叫做共线向量。相等向

2、量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示。5.向量的加法：法。注意：（1）两个向量的和仍为向量。（2）对于零向量与任一向量a有a+0=0+a=a。6.向量的加法法则（1）三角形法则：（首尾连接）（2）平行四边形法则：（共起点）7.向量的加法运算律。（1）交换律：a+b=b+a（2）结合律：a+(b+c)=(a+b)+c8.相反向量：与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。零向量的相反向量为零向量。相反向量性质：9.向量的减法：向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差。记求两个向量差的运算叫做向量的减法。10

3、.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：11.实数与向量的积的运算律：12.一个向量与非零向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa。13.平面向量的基本定理：如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。14.向量坐标的概念。若i，j分别是与平面直角坐标系内x轴，y轴方向相同的单位向量，且a=xi+yj，则x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标（不要说成横坐标，纵坐标）。记作a=(x,y)。15.相等向量坐标的

4、关系。与向量a=（x，y）相等的所有向量的坐标均为（x，y）。16.向量坐标公式17.向量的和、差及实数与向量的积的坐标公式：18.向量共线定理：向量a与非零向量b共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使a=λb。19.平行向量的坐标关系：20.点分有向线段所成的比的概念。21.分点坐标公式。此公式叫定比分点坐标公式。在此公式中，（x1，y1），(x2，y2)，（x，y）分别表示起点，终点，分点的坐标。22.中点坐标公式此即为线段的中点坐标公式。23.三角形重心坐标公式。24.向量的夹角的概念叫做a，b的夹角。注意：（1）两个非零向量的夹角的范围为：25.a与b的数量积的

5、概念已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

6、a

7、

8、b

9、cosθ叫做a与b的数量积（内积），记作a·b。注意：（1）a与b的数量积的结果是一个实数（可为正数、负数或零）。26.b在a方向上的投影。注意：（1）b在a方向上的投影不是向量而是一个实数，它的符号取决于θ角的范围。（2）a在b方向上的投影

10、a

11、cosθ。27.a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度

12、a

13、与b在a方向上的投影

14、b

15、cosθ的乘积，也等于b的长度

16、b

17、与a在b方向上的投影

18、a

19、cosθ的乘积。28.数量积的重要性质设a，b均为非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角（则a与b的夹

20、角也为θ），由数量积的定义可得如下五条重要性质：33.在平移向量a及平移前后函数图象的解析式y=f(x)，y=g(x)三者之中，知道了两个能求出第三个。 34.正弦定理：余弦定理：三.例题选讲例1.设a、b是非零向量，且a与b不平行，求证a+b与a-b不平行。分析：如果结论不成立，即(a+b)//(a-b)，将会得到什么样的结果呢？因为两个向量共线，必定存在一个实数λ，使一个向量的λ倍恰好等于另一个向量。由此得到的关于a、b的等式就能推出与题设矛盾。解：小结：命题由否定形式出现，通常可考虑用反证法来证明。因为本题难度不大，所以也可直接利用向量平行的充要条件验证。如， 例2

21、.分析：（1）注意c2=

22、c

23、2，根据向量数量积的定义及运算律先求出c2；解：小结：第（2）题把题中的向量a的起点设为原点，在图中旋转容易理解，但实际上与起点的位置无关。解题的思路能推广到一般情况。另外，结合图形可知n>1，从而在二元二次方程组的解中选取适合题意的解。 例3.分析：解：小结：直接用代数的方法求本题中的函数最值很困难，一般情况下转化为几何模型求解。这里借助向量计算，本质上还是几何模型，但运算简捷了。 例4.如图所示，P、Q是△ABC的边BC上两点，且BP=QC。求证：证明：小结： 例5.解：小结： 例6.解法一：