近世代数之元素的阶.ppt

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1、近世代数第二章群论§2元素的阶9/20/202112:44元素的指数在群中，由于结合律成立，有意义，据此,可定义群的元素的指数:设为正整数,则规定:显然有，，其中为任意整数.9/20/202112:44定义1设为群的一个元素，使的最小正整数叫做元素的阶，记作；若不存在这样的，则称的阶显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶为无限.都大于1，9/20/202112:44例1关于数的普通乘法做成4次单位根群.9/20/202112:44例2正有理数乘群单位元的阶是1，其他元的阶均为无限.例3非零有理数乘群1的阶是1，-1的阶是2，其余元的阶均为无限.9/20/202112:

2、44定理1有限群中每个元素的阶均有限.，在中必有相等的.设则，从而阶有限.证明：设9/20/202112:44注：无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，，其中是次单位根群关于普通乘法作成无限交换群，甚至可能都有限.例4，则其中每个元素的阶都有限.9/20/202112:44定理2若群中，则证明：令，，则.证明中，只需证.（2）若9/20/202112:44定理3若群中，则，其中为任意的整数.设，则证明：9/20/202112:44两个推论：推论1在群中，若,则，其中s，t均为正整数.推论2在群中，若，则9/20/202112:44定理4在群中，若，，则当且时，证明：

3、，，，于是若同理，9/20/202112:44例5

4、ab

5、一定等于

6、a

7、

8、b

9、吗？是有理数域Q上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群.9/20/202112:44例5

10、ab

11、一定等于

12、a

13、

14、b

15、吗？是有理数域Q上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群.9/20/202112:44思考题：设G是群，且

16、G

17、>1.证明：若G中除e外其余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无限，就是素数.9/20/202112:44