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1、经济数学基础作业1(微分学部分第1章函数一第2章极限、导数与微分)知识要点：1・函数概念：函数y二/(x),A-GD的两个要素——定义域和对应关系。要求：会求函数的定义域和函数值；会判断两函数是否相同。2.函数的性质：了解函数的四个性质，掌握函数奇偶性的判别。3.基本初等函数和函数的复合运算：记住五类基本初等函数的表达式，知道它们的图形特征。掌握函数的复合与“分解”。4.极限的概念:知道limf(x)=A的意义;知道limf(x)=A的充分必要条件是lim/(A)=A且lim于(兀)=AXT%A—>XqXTX；5.无穷小量的概念和性质：了解无穷小量的概念：在某个变化过程屮，以0为极限的函数
2、。例如若lim/U)=O,0则称当XTJCo时，/(X)为无穷小量。了解无穷小量与无穷大量的关系：无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数为无穷大量。知道无穷小量的性质：无穷小量与有界变景的乘积为无穷小量。例如limx=(),sin—x<1,因此limxsin—=0xtOX6.函数连续的概念和性质：了解函数y=/(兀)在点心处连续的概念：limf(x)=/(x0)；了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。Av7.导数的概念：牢记导数定义的极限表达式/Vo)=lim—；知道函数在某点导数的Aa儿何意义：广do)表示曲线y=/(x)在点(x0,
3、/u0))处的切线的斜率；会求曲线的切线方程,曲线y=f(x)在兀0处的切线方y-/(x0)=r(x0)(x-x0)o了解导数的经济意义。8.微分的概念:函数y=f(x)的微分：dy=ydx9.高阶导数的概念，特别是二阶、三阶导数的概念，比如二阶导数r=（yy9.函数极限、连续、可导与可微的关系：可微O可导=>连续=>极限存在。ii・掌握求简单极限的常用方法求极限的常丿ij方法有（1）利川极限的四则运算法则；（2）利用重要极限cinY第一重要极限:lim—=1“TOx特点：当xtO时，i）分子、分母的极限为0；ii）分子或分母屮有一个含有正弦函数关系式。第一重要极限的扩展形式：limSin
4、（Z?（V）=10（x）tO0（兀）（3）利川无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）；（4）利用连续函数的定义。12.熟练掌握求导数或微分的方法。具体方法有：（1）利用导数（或微分）的基本公式；（2）利川导数（或微分）的四则运算法则；（3）利用复合函数求导或微分法；（4）利用隐函数求导法则。作业解答：一.填空题-x-sinx1.lim=片TOxUnx解：当xtO吋，分子、分母的极限均为0,且lim—=1Z）xmL1vx-sinxvZ1sin兀、（（n因此lim=lim（l）=1-1=0A—>0兀XT（）尢fr2+1xhO2.设/（x）=，在x=0处连续，则"[k9x=0解：由函
5、数的连续定义知:若y=f（x）在x=0处连续，贝iJlim/（x）=/（0）ox->0+1)=1limf(x)=lim(x2xtO*xtO/(O)=R因此,若/（兀）在X=O处连续，贝U=lo3.曲线y=+1在（1,2）的切线方程是解：根据导数的儿何意义有，曲线y=JI+l在（1,2）的切线方程是:），-2=）/（1）（兀-1）故切线方程是:4.设/(x+l)=x2+2x+5,则广(x)=c解：先求/(x)的表达式令r=x+1,则兀=r一1,因为/(x+1)=x2+2x+5,则/(/)=(—1)2+2(/_1)+5=尸+4则f(x)=x2+4广⑴=2%7T5.设/(x)=xsinx,则厂(
6、空)=7T解：=2•2fx)=Xsinx+x(sinx)f=sinx+xcosx,ffx)=(sinx)r+xcosx+x(cosx)r=cosx+cosx-xsinx,=2cosx-xsin^,/，,r(-)=2cos---sin-=~-22222二.单项选择题:1・当XT+Q0吋，下列变量为无穷小量的是()A.ln(x+1)C.exD.X解:无穷小量的概念：在某个变化过程屮，以0为极限的函数。屮：因为X—>+go时，ln(x+l)T+oc,故xt+oo时，ln(x+1)不是无穷小M；B+：二T+s,故兀T+oo时，丄不是无穷小量X+1X+1C屮:
7、—丄一丄0,eA—>1,故xt+o
8、o时，e兀不是无穷小量。x因为兀一》+00吋9里怛=」・sinx—O,故当xt+oo时，里怛是无穷小量。XXX因此止确的选项是D。厶卜•列极限计算正确的是)□A.limH=i*T()XB.limW=1xtO'xC.limxsin—=1Z)xD.lim^-=l,ATSX解：A不正确。注意到:x=0-x.x<0因此：lim^=lim-=l,limtl=lim—=-1xto*xxt(txx->o~xxto-xlim址
