经济数学基础作业3(电大)

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1、经济数学基础作业3（线性代数部分第1章行列式——第二章矩阵）知识要点：1．行列式的概念和性质掌握二阶和三阶行列式的计算。了解行列式的性质：特别是性质1、性质3、性质5。2．了解矩阵和几类特殊矩阵的概念3．理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；4．知道方阵的行列式性质：设是阶方阵，是数，则（1）；（2）；（3）；（4）若可逆，则5.了解矩阵秩的概念；6.理解矩阵初等行变换的概念：（1）将矩阵的某两行对换位置；（2）将某一行遍乘一个非零常数；（3）将矩阵的某一行遍乘一个非零常数加到另一行。7．熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算。掌握这几种运算的有关性质，注意：（1）矩阵的乘法一

2、般不满足交换律，即=不一定成立；（2）在矩阵的乘法中存在有；（3）矩阵乘法的消去律不成立，即且，不能导出。8．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。一）填空题1.设矩阵，则的元素.解：的元素表示矩阵中第2行与第3列交叉的元素，即=3。2.设均为3阶矩阵，且，则=.解：因为若是阶方阵，是数，则，，因此=3.设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是.解：因为的充分必要条件是=4.设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.解：因为：，则，5.设矩阵，则.求逆矩阵的初等行变化法：（二）单项选择题1.以下结论或等式正确的是（）．A．若均

3、为零矩阵，则有B．若，且，则C．对角矩阵是对称矩阵D．若，则解：A不正确。零矩阵：所有的元素均为零的矩阵。例如：，B不正确。矩阵乘法的消去律不成立。例如：设，，有，但C正确.对称矩阵：若矩阵，有，则称矩阵为对称矩阵。设n阶对角矩阵，显然有，因此矩阵为对称矩阵。D不正确.例如：设，,有该题正确的选项为C.2.设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（）矩阵．A．B．C．D．解：矩阵乘法定义：,要求左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等，而且结果AB仍然是一个矩阵，其行数等于左边矩阵A的行数，其列数等于右边矩阵B的列数。为,要有意义，则矩阵的行数=矩阵A的列数4；为矩阵，则为矩阵，要有意义，则矩阵

4、的列数=矩阵的行数2,故是一个矩阵，是一个矩阵。该题正确的选项为A.3.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（　）．`A．，B．C．D．解：A都是错误的。例如：设，，容易验证矩阵均可逆，但不可逆，显然是错误的。B是错误的。逆矩阵的性质：C是正确的。=D是错误的。矩阵的乘法一般不满足交换律。该题正确的选项为C.4.下列矩阵可逆的是（）．A．B．C．D．解：矩阵A可逆的方法：（1）；（2）矩阵A是满秩矩阵。A是正确的。因为矩阵是阶梯形矩阵且为满秩矩阵。或B是错误的。，矩阵的秩为2，不是满秩矩阵，故不可逆。C,D都是错误的。矩阵的秩都为1，不是满秩矩阵，故不可逆。该题正确的选项为A.5.矩阵的秩

5、是（）．A．0B．1C．2D．3解：该题正确的选项为C.三、解答题1．计算（1）解：原式==（2）解：原式=（3）解：原式=2．计算解：原式==3．设矩阵，求。二阶行列式n阶行列式的计算方法：1．降阶法：2．化三角形矩阵解：所以=04．设矩阵，确定的值，使最小。求矩阵A的秩的方法：阶梯行矩阵，则=的非零行的行数。解：当时，=2为最小求矩阵A的秩的方法：阶梯行矩阵，则=的非零行的行数5．求矩阵的秩。解：=26．求下列矩阵的逆矩阵：（1）解：求矩阵的逆的方法：方法1：方法2：（2）A=．求解：下面利用初等行变化法求的逆：=7．设矩阵，求解矩阵方程．1．解矩阵方程：（1）．若A可逆，则。（2）．

6、若A可逆，则。2．利用伴随矩阵法求二阶可逆矩阵的逆：，其中伴随矩阵解：因为则，，，==四、证明题1．试证：若都与可交换，则，也与可交换。若有，则称与可交换。证明：因为，则结合矩阵运算的分配律有：又利用矩阵运算的结合律有：因此，都与可交换。2．试证：对于任意方阵，，是对称矩阵。若，则称为对称矩阵。转置矩阵的运算性质：证明：3．设均为阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是：。证明：必要性：若A则B,则称A是B的充分条件；B是A的必要条件。因为，为对称矩阵，则。充分性：因为，，则，即是对称矩阵。4．设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。若为可逆矩阵，则证明：因为，为阶可逆矩阵，且，

7、则。