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时间:2020-03-23
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1、对一个不等式证明的反思与探索在高三的1B练习卷上,遇到到这样一个不等式:设R+,a+b=1,113(I)求证・(1)d+1b+12ii4(II)求证:—^+―!->-(2)a+1方+13证明:不等式(1)<=>2(a+1)+2(b+1)v3(a+l)(ft+1)<=>2(a+〃)+4V3+3(a+b)+3血<=>02、结论?己知a,beR+,a^b=l,则亍V——+——V二2d2+l方2+1、311证明:一方而-<—^―+—^―2a2+lh2+O2(«2+/>2)+4>3(a2+2+l)o1>a2+b2+3a2b2•••ab<・・・不等式⑷的左不等式成立。另一而-5+S-宀1*2+15o5(a2+b2)+10<8a2b2+8(a2+b2)+8<^Sa2b2+3(a2+b2)>2OSa2b2+3(a+b)2-6ab>2o8a2b2—6ab+1>0O(1-4血Xl-lab}>0.ab<—<—,・•・(1—4血X】一2血)A0,42即不等式(4)的右不等式成立.综合以上,不等式(4)得证.反思与探索2将3、不等式(3)中间的分母增加根式层次,有何结论?已知R+,a+b=h贝02证明一方面,不等式(5)的左不等式oJ8(a++1)4、K+1V2V2综上可知,不等式(5)得证.反思与探索3将不等式(3)深化为三个字母,有何结论?L2知a,方,CG心,4+〃+。=1,——-—+——F——<—4a+1h+1c+12证明:先证左不等式,由柯西不等式得111、9911n=—«+1b+lc+l(a+l)+(〃+l)+(c+l)4再证右不等式,事实上1115++v—a+1b+c+l2o2(a+lX*+l)+2(Z>+lXc+l)+2(c+lXa+l)<5(a+lX6+1X^+1)O2(ab+方c+ca)+4(a+6+c)+6<5abc+5(ab+方c+ca)+5(a+〃+c)+5O5ahc+3(ab+bc+ca)>0,显然成立5、。综上可知,所证不等式成立.反思与探索4将不等式(5)深化为三个字母,有何结论?己知a,b、cwR+^a^b+c=ly则(7)证明先证左边的不等式,由三元均值不等式得3街J3封(心询+认+1)3^3J(a+1)+(方+1)+(c+1)3阴再证右边的不等式,显然0v%cvl,1—la+l_~aV~a—a+aJa+1(1+1)yl~2[y/~2+1)V2即有同理从而<-a+^=a,Ja+1>12Jb+1y/21T1/vY—c+—=CyVc+1V2111+Va+1Jb+1Jc+1<3-(a+Z>+c)+^=(a+〃+c)=2+・综上可知,不等式(7)成立.反思与探索5将不等式(4)深化为6、三个字母,有何结论?已知。加訴,宀+<=1,则+冷+比吧(8)证明:给出下曲的引理:若+b=/V1,则:1+亠亠+宀亠1+t2a2+1zr+1/、2(9)叱)先证左边的不等式:由2+f2>0,=(2f+f3)2一8(2+/2)=(/2+4p_4)v0知问题得证.再证右边的不等式:12+1b2+14+/0(八+4炉+1)+("+4加+1)«8(沪+认2+1)O8^2方2+(4・(2)(方2十幺2)-2/2noO&?沪+(4-厂)((2-2血)-2(22008/沪一2(4—(2)血+2(2—厂no考虑关于兀的函数/(兀)=8兀2一2(4-八)兀+2/2一厂,其对称轴兀=:士乂.2/(工)在7、0,—单调递减。又由a+可知:4等式得证.由引理可知,要证不等式(8),只需证明:若心cw7?+』+c=l,>—,故40,故不不等式-<1+—+-等价于不等式(4)的左部分.而21+/21+c288、1v274+/2*1+c2一104=>10(12+8c2+/2)^27(4+/2)(1+c2)<=>10(12+8c2+(l-c)2)<27(44-(1-c)2)(1+c2)o27』一54c彳+72c$-34c+520O(3c-1)2(3c2_4c+
2、结论?己知a,beR+,a^b=l,则亍V——+——V二2d2+l方2+1、311证明:一方而-<—^―+—^―2a2+lh2+O2(«2+/>2)+4>3(a2+2+l)o1>a2+b2+3a2b2•••ab<・・・不等式⑷的左不等式成立。另一而-5+S-宀1*2+15o5(a2+b2)+10<8a2b2+8(a2+b2)+8<^Sa2b2+3(a2+b2)>2OSa2b2+3(a+b)2-6ab>2o8a2b2—6ab+1>0O(1-4血Xl-lab}>0.ab<—<—,・•・(1—4血X】一2血)A0,42即不等式(4)的右不等式成立.综合以上,不等式(4)得证.反思与探索2将
3、不等式(3)中间的分母增加根式层次,有何结论?已知R+,a+b=h贝02证明一方面,不等式(5)的左不等式oJ8(a++1)4、K+1V2V2综上可知,不等式(5)得证.反思与探索3将不等式(3)深化为三个字母,有何结论?L2知a,方,CG心,4+〃+。=1,——-—+——F——<—4a+1h+1c+12证明:先证左不等式,由柯西不等式得111、9911n=—«+1b+lc+l(a+l)+(〃+l)+(c+l)4再证右不等式,事实上1115++v—a+1b+c+l2o2(a+lX*+l)+2(Z>+lXc+l)+2(c+lXa+l)<5(a+lX6+1X^+1)O2(ab+方c+ca)+4(a+6+c)+6<5abc+5(ab+方c+ca)+5(a+〃+c)+5O5ahc+3(ab+bc+ca)>0,显然成立5、。综上可知,所证不等式成立.反思与探索4将不等式(5)深化为三个字母,有何结论?己知a,b、cwR+^a^b+c=ly则(7)证明先证左边的不等式,由三元均值不等式得3街J3封(心询+认+1)3^3J(a+1)+(方+1)+(c+1)3阴再证右边的不等式,显然0v%cvl,1—la+l_~aV~a—a+aJa+1(1+1)yl~2[y/~2+1)V2即有同理从而<-a+^=a,Ja+1>12Jb+1y/21T1/vY—c+—=CyVc+1V2111+Va+1Jb+1Jc+1<3-(a+Z>+c)+^=(a+〃+c)=2+・综上可知,不等式(7)成立.反思与探索5将不等式(4)深化为6、三个字母,有何结论?已知。加訴,宀+<=1,则+冷+比吧(8)证明:给出下曲的引理:若+b=/V1,则:1+亠亠+宀亠1+t2a2+1zr+1/、2(9)叱)先证左边的不等式:由2+f2>0,=(2f+f3)2一8(2+/2)=(/2+4p_4)v0知问题得证.再证右边的不等式:12+1b2+14+/0(八+4炉+1)+("+4加+1)«8(沪+认2+1)O8^2方2+(4・(2)(方2十幺2)-2/2noO&?沪+(4-厂)((2-2血)-2(22008/沪一2(4—(2)血+2(2—厂no考虑关于兀的函数/(兀)=8兀2一2(4-八)兀+2/2一厂,其对称轴兀=:士乂.2/(工)在7、0,—单调递减。又由a+可知:4等式得证.由引理可知,要证不等式(8),只需证明:若心cw7?+』+c=l,>—,故40,故不不等式-<1+—+-等价于不等式(4)的左部分.而21+/21+c288、1v274+/2*1+c2一104=>10(12+8c2+/2)^27(4+/2)(1+c2)<=>10(12+8c2+(l-c)2)<27(44-(1-c)2)(1+c2)o27』一54c彳+72c$-34c+520O(3c-1)2(3c2_4c+
4、K+1V2V2综上可知,不等式(5)得证.反思与探索3将不等式(3)深化为三个字母,有何结论?L2知a,方,CG心,4+〃+。=1,——-—+——F——<—4a+1h+1c+12证明:先证左不等式,由柯西不等式得111、9911n=—«+1b+lc+l(a+l)+(〃+l)+(c+l)4再证右不等式,事实上1115++v—a+1b+c+l2o2(a+lX*+l)+2(Z>+lXc+l)+2(c+lXa+l)<5(a+lX6+1X^+1)O2(ab+方c+ca)+4(a+6+c)+6<5abc+5(ab+方c+ca)+5(a+〃+c)+5O5ahc+3(ab+bc+ca)>0,显然成立
5、。综上可知,所证不等式成立.反思与探索4将不等式(5)深化为三个字母,有何结论?己知a,b、cwR+^a^b+c=ly则(7)证明先证左边的不等式,由三元均值不等式得3街J3封(心询+认+1)3^3J(a+1)+(方+1)+(c+1)3阴再证右边的不等式,显然0v%cvl,1—la+l_~aV~a—a+aJa+1(1+1)yl~2[y/~2+1)V2即有同理从而<-a+^=a,Ja+1>12Jb+1y/21T1/vY—c+—=CyVc+1V2111+Va+1Jb+1Jc+1<3-(a+Z>+c)+^=(a+〃+c)=2+・综上可知,不等式(7)成立.反思与探索5将不等式(4)深化为
6、三个字母,有何结论?已知。加訴,宀+<=1,则+冷+比吧(8)证明:给出下曲的引理:若+b=/V1,则:1+亠亠+宀亠1+t2a2+1zr+1/、2(9)叱)先证左边的不等式:由2+f2>0,=(2f+f3)2一8(2+/2)=(/2+4p_4)v0知问题得证.再证右边的不等式:12+1b2+14+/0(八+4炉+1)+("+4加+1)«8(沪+认2+1)O8^2方2+(4・(2)(方2十幺2)-2/2noO&?沪+(4-厂)((2-2血)-2(22008/沪一2(4—(2)血+2(2—厂no考虑关于兀的函数/(兀)=8兀2一2(4-八)兀+2/2一厂,其对称轴兀=:士乂.2/(工)在
7、0,—单调递减。又由a+可知:4等式得证.由引理可知,要证不等式(8),只需证明:若心cw7?+』+c=l,>—,故40,故不不等式-<1+—+-等价于不等式(4)的左部分.而21+/21+c28
8、1v274+/2*1+c2一104=>10(12+8c2+/2)^27(4+/2)(1+c2)<=>10(12+8c2+(l-c)2)<27(44-(1-c)2)(1+c2)o27』一54c彳+72c$-34c+520O(3c-1)2(3c2_4c+
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