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1、常青藤实验中学2013届高三理科数学研究性学习（40）专题：2010年江苏高考数学解析几何试题的背景探源及解法优化技巧简介引例：（2010年江苏高考数学18题）y2V2在平面真角坐标系xoy屮，如图，已知椭圆—+—=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T（f,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点”（和儿）、N（x2,y2）,其中m>0,y,>0,y2<0.（1）设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹;（2）设x,=2,x2=-,求点T的坐标；（3）设/=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）一、试题背景探源椭圆极点和极线的定义与作
2、图：已知椭圆C：2+・=l（a>b>0）,贝U称点erP（x0,.y0）和肓线孚+卑=1为椭圆的一对极点和极线•极点和极线是成对出现的.ab~从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考：（1）若点P（x0,y0）在椭圆上，则其对应的极线是什么?（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么？过椭圆外任意一点尸（勺,儿）的极线的作法：如图3.设P为不在圆锥曲线上的点，过点F引两条割线依次交圆第陆线于四点E.F,G、H・在结EH.FG交于点N.连结EG.FH交于点M.则称MN为点P对应的极线.若尸为圖惟1山线上的点，过点P的切线即为极线.当点P在椭圆内（外、上）
3、时，此时点对应的极线和椭圆的位置关系如何？二、高观点下的试题新解思考:能否利用极线和极点的知识重新给出第3问的合理分析和解释?三、类题再现（2009年福建）已知椭圆C的离心率£=2,长轴的左右端点分别为二i（-2,0）,4（2,0）,如图所示.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x=®：+1与椭圆C交于两点P,0,直线“与AQ交于点S,试问：当加变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方稈，并证明你的结论；若不是，请说明理由.下面探索解析几何问题中的两个技巧（1）用“Ct法”求直线方程已知两点坐标，求经过这两点的直线方程.通常采取的方法是，或者“
4、点斜式”，或者“两点式〕其实采川下面介绍的5法"，运算将更加迅速简洁.现介绍如下：若A（©,巧），B（巴，力），求直线的方程.先将两个点的坐标上下对齐书写，假设最终求出的直线方程为Ax+By+C=0,则这种方法既形彖直观，又运算简洁，更重要的是避免了许多情况下，因为字母运算时需要分类讨论的繁琐.大家不妨以“若4（-2,1）,B（3,-1）,求直线AB的方程”为例试试看.⑵巧妙分解因式通常由直线方程与二次曲线方程联立方程组求交点坐标,这种运算是可怕的，尤其是含有大量字母运算时，但当直线与二次曲线有一个己知公共点时，则可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另一个公
5、共点的坐标.下面以椭圆为例讲解这种运算技巧：若公共点为（齐椭圆方程为,设直线方程为尸-儿=赵万一4）,则仗一辛）（x4辛）丄（X-片）Cx5）_c代入—石*71u得，ah上式得，显然有公因式从而很方便地求出另一个交点坐标.练习：已知OC过点P（1,1）,且与OM：°十25力2+"=%：＞0）关于育线++2=0对称.（1）求OC的方程；⑵过点F作两条相异•育线分别与OCW交于人B,且頁•线刃和直线刊的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断盲线OP和AB是否平行?请说明理也
