2、的时间.2试题背景其实该试题的深刻背景源于高等几何小的“极点”与“极线”等相关知识.“极点”与“极线”是彼此相对的概念，它们的定义是这样的：定点尺“刃关于非退化二次曲线「：^+B^+C^^Dx+^+R=°的极线是厶222.反之直线/关于曲线「的极点为只“极点”与“极线”有许多几何性质，其中一条是:如图，过定点％•刃引曲线「的两条割线刃〃和加?，分别交曲线「于点‘4、B、C、D,弦肋和滋交于点0,则点0的轨迹是一条直线，这条直线就是点p关于曲线r的极线.注：当点Q在曲线卩上时，点P关于曲线「的极线即为曲线「在点P处的切线.号十牟=1特殊情况下，点玖叫時关于椭圆«歹(日＞方＞0
3、)的极线方程为厶尹沪1.由此可以看出，椭圆相对应的焦点与准线恰恰就是“极点”与“极线”的关系."点、P在椭圆内，则极线/在椭圆外；肖点Q在椭圆外，则极线/在内；半点P在椭圆上，则极线1即为椭圆在点P处的切线.3牛刀小试现在再回过头來审视2010年江苏省高考数学第18题的第⑶问，将显得极为容易.显然，若将直线x=9看成极线，则题币卩所要求的定点即为相应的极点.=lV+AX=1由椭圆方程95知，极线方程公式为95.将x=9与前而极线方程公式对比可知，*«=1,^=°,即极点坐标为(1,0)・因此直线必V必过x轴上的定点(1,0).另外，通过前而分析可知，原题第⑶问为了降低难度，
4、主动提醒直线必V必过x轴上的一定点,其实这里的“x轴”是可以省去，并且不影响原题的解答过程。类似问题有很多.其实早在2009年吋，福建宁化市有一-道高考数学模拟试题也是以“极点”与“极线”为背景的：已经椭圆C的离心率2,长轴的左右端点分别为三i(-2,0),◎(2,0),如图所示.⑴求椭圆C的方程;⑵设直线*=砒+1与椭圆C交于两点卩,Q,直线A"与M交于点S,试问：当刃变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.不难看岀，该题与2010年江苏省高考数学第18题的第⑶问极为类似，只是江苏高考试题是己知极线求极点，而宁化模拟
5、试题是己知极点求极线.—+jra=1三由椭圆方程为4,知极线方程公式为4,显然这里的极点坐标为（1,0）,因此相应的极线方程为尸4,即动点S恒在定直线%=4±.下面探索这类问题在屮学范囤内的巧妙解法，为此先介绍两个常用的计算技巧.4两个技巧⑴用“Q法”求直线方程已知两点坐标，求经过这两点的直线方程.通常采取的方法是，或者“点斜式”，或者“两点式”.其实采用下面介绍的“Q法”，运算将更加迅速简洁.现介绍如下：若A（召，=）,〃（耳，片），求直线月〃的方程.先将两个点的坐标上下对齐书写，假设最终求出的直线方程为Ax+By+C=0,则X-*=A=这个规律的正确性，证明极容易,这里
6、略.这种方法既形象直观，又运算简洁，更重要的是避免了许多情况下，因为字母运算时需要分类讨论的繁琐.笔者在多年的教学实践屮，对这种“小技巧，威力大”的感触颇深.所谓“u法”，只是帮助你记住运算路线而己.读者不妨以“若畀（一2,1）,5（3,-1）,求直线初的方程”为例试试看,熟练一下.⑵巧妙分解因式通常由直线方程与二次曲线方程联立方程组求交点坐标，这种运算是可怕的，尤其是含有大量字母运算吋，但当直线与二次曲线有一个己知公共点时，则可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另一•个公共点的坐标.下面以椭圆为例讲解这种运算技巧：若公共点为g如，椭圆方程为?+^=1,设直线方程为y-片=
7、比-2,则O将代入上式得，显然有公因式耐，从而很方便地求出另一个交点坐标.5难题巧解下面运用前面介绍的两个技巧解答2010江苏省高考数学第18题的第⑶问・先求点〃的坐标：上基£空丄=0得~9-亍将直线加厂訣切代入上式得代入直线刀4：pc亠2Q）2叶）I搭力十20厂蔚+20丿显然x+3=0时，即为点儿要求点屈则约去（x+3）得同理，可求出点N的坐标为用“U法”写出直线必V的方程，并及时令尸0得（40駅I20机）工]如・8Q）2g环-2Q）40wQ1^+80?+20）^+j^+BO«a+20"«a+20^+80=由于
