工程数学-傅里叶变换.ppt

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1、第二节傅里叶变换傅里叶变换的概念单位脉冲函数及其傅里叶变换三非周期函数的频谱1一傅里叶变换的概念在上节中，我们已经知道如果函数积分收敛定理的条件，满足傅立叶则在的连续点处有如果在上式中设则这表明和可以通过指定的积分运算互相表示。2定义称为的傅立叶变换式，称为的傅氏变换的像函数称为的傅立叶逆变换式，记称为的傅氏逆变换的像原函数。根据定义我们有后一个式子在的连续点成立。作ℱ记为ℱℱ[ℱℱℱ3例1设函数求的傅立叶变换及其傅立叶积分。称为指数衰减函数，在工程技术中经常遇到这个函数。解ℱ4根据傅立叶逆变换的定义，傅立叶积分实际上就是的傅立叶逆变换，利用奇

2、、偶函数的积分性质，我们有利用傅氏积分收敛定理，可得含参变量广义积分的结果，ℱ5解ℱ例2设求ℱ6例3求钟形脉冲函数的傅氏变换。解令则且ℱ7所以利用得即ℱ8由前节可知偶函数的傅立叶积分为奇函数的傅立叶积分为由此可以得到傅立叶余弦变换、傅立叶正弦变换。定义设在区间满足傅立叶积分收敛的条件，称为函数傅立叶余弦变换式，记为ℱ即ℱ9称为傅立叶余弦变换像函数。称为的傅立叶余弦逆变换像原函数.为傅立叶余弦逆变换式,记为ℱ即ℱ称称为函数傅立叶正弦变换式，记为ℱ即ℱ记为ℱ10称为傅立叶正弦变换像函数。称为的傅立叶正弦逆变换像原函数.为傅立叶正弦逆变换式,记为ℱ即

3、ℱ称11例求函数傅立叶余弦、正弦变换。解ℱ12ℱ13二单位脉冲函数及其傅里叶变换在电流为零的线性电路中，某一瞬间(设为)进入一单位电量，现确定该电路的电流设电路的电荷函数为则由于电流强度为电荷函数对时间的变化率，所以即14另一方面，通过电路的总电荷等于电流强度对时间的积累，即在通常的意义下的函数类中找不到一个函数能够满足因此满足是一个广义上的函数称为狄拉克函数，在工程技术上又称为单位脉冲函数，记为狄拉克函数是一个广义函数，它的精确定义必须有泛函分析的的基础,在这里我们仅把狄拉克函数看作弱收敛函数列的弱极限，即对于任何一个无限次可微15函数如果满

4、足其中则称为函数列的弱极限，记为或简记为利用我们有这就是式。16利用我们还可以推出的一个重要的性质，即筛选性质：如果函数为一个无限次可微函数，则有事实上，由于连续，按积分中值定理有17同理我们有即ℱ或ℱ同理有ℱ或ℱ由此可知ℱ18需要指出：关于的傅氏变换是按式来定义的，是一种广义的傅立叶变换，有了狄拉克函数及其傅立叶变换后，许多函数如常数函数、符号函数、单位阶跃函数及其正、余弦函数都可以求(广义)傅立叶变换。采用古典意义下的定义形式。为方便起见我们仍19例4设（称其为单位阶跃函数），证明ℱ[证]设由于ℱ20由于所以因此所以ℱ21为了不涉及狄拉克函

5、数的较深入理论，经常通过求傅氏逆变换的方法来推出某些函数的傅氏变换。例如由于ℱ所以ℱ同理ℱ22上述的几个积分在普通的广义积分下是不收敛的，这里的积分是在更广意义下进行的，严格的讲是按式定义的。有了这些积分后，我们可以方便地求某些函数的傅氏变换。23例4求正弦函数的傅氏变换。解ℱ24例6求符号函数的傅氏变换。解ℱ25三非周期函数的频谱在傅立叶级数的理论中，一个以为周期的非正弦函数的第次谐波为其中为频率，为振幅，在复数形式下，第次谐波为其中26且因此这反映了振幅与频率之间的关系。所谓的频谱图就是反映振幅与频率的关系图，称为振幅频谱。所以这种频谱图是

6、不连续的，由于称之为离散频谱。例6画出如图所示的函数的频谱图。27解以为周期，在一个周期内的表示式为利用上节式可得：2829对于非周期函数在的连续点有其中在频谱分析中，称为的频谱函数，称为振幅频谱（简称为频谱),由于是连续变化的，因此称之为连续频谱。例7作出函数的频谱图。解利用本节例2可得30所以由于所以即振幅频谱为的偶函数。31我们定义为函数的相角频谱，则相角频谱为的奇函数。32