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《多元数量值函数的导数与微分-4隐函数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、隐函数的求导法则由一个方程确定的隐函数由方程组确定的隐函数2007年8月1南京航空航天大学理学院数学系一、一个方程的情形隐函数的求导公式2007年8月2南京航空航天大学理学院数学系解令则2007年8月3南京航空航天大学理学院数学系2007年8月4南京航空航天大学理学院数学系解令则2007年8月5南京航空航天大学理学院数学系2007年8月6南京航空航天大学理学院数学系解令则2007年8月7南京航空航天大学理学院数学系思路：解令则2007年8月8南京航空航天大学理学院数学系整理得2007年8月9南京航空航天大学理学院数学系整理得整理得2007年
2、8月10南京航空航天大学理学院数学系设有一组方程则称由(1)确定了隐函数组之对应,能使其中定义在若存在使得对于任给的有惟一的二、隐函数组2007年8月11南京航空航天大学理学院数学系并有关于隐函数组的一般情形(含有m+n个变量的m个方程所确定的n个隐函数)，在本章不作详细讨论．2007年8月12南京航空航天大学理学院数学系首先来看看,若由方程组(1)能确定两个可微的隐函数,则函数应满足何种条件呢?不妨先设都可微,由复合求导法,通过对(1)分别求关于x与关于y的偏导数,得到2007年8月13南京航空航天大学理学院数学系能由(2)与(3)惟一解
3、出 的充要条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即由此可见，只要 具有连续的一阶偏导数，且其中是满足(1)的某一初始点,则由保号性定理， 使得在此邻域内(4)式成立．根据以上分析,便有下述隐函数组定理.2007年8月14南京航空航天大学理学院数学系雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国）2007年8月15南京航空航天大学理学院数学系定理(隐函数组定理)设方程组(1)中的函数F与G满足下列条件：(i)在以点为内点的某区域上连续；(ii)(初始条件);(iii)在V内存在连续的一阶偏导数；(iv)隐函
4、数组定理2007年8月16南京航空航天大学理学院数学系即有则有如下结论成立：且满足必定存在邻域其中使得2007年8月17南京航空航天大学理学院数学系在上连续.在上存在一阶连续偏导数,且有本定理的详细证明从略,下面只作一粗略的解释:2007年8月18南京航空航天大学理学院数学系①由方程组(1)的第一式确定隐函数②将代入方程组(1)的第二式,得③再由此方程确定隐函数并代回至这样就得到了一组隐函数2007年8月19南京航空航天大学理学院数学系通过详细计算,又可得出如下一些结果:2007年8月20南京航空航天大学理学院数学系例1设有方程组试讨论在点
5、的近旁能确定怎样的隐函数组？并计算各隐函数在点处的导数.解易知点满足方程组(5).设2007年8月21南京航空航天大学理学院数学系它们在 上有连续的各阶偏导数.再考察在点关于所有变量的雅可比矩阵由于2007年8月22南京航空航天大学理学院数学系因此由隐函数组定理可知,在点近旁可以惟一地确定隐函数组:但不能肯定y,z可否作为x的两个隐函数.2007年8月23南京航空航天大学理学院数学系运用定理18.4的结论,可求得隐函数在点处的导数值:2007年8月24南京航空航天大学理学院数学系*注通过详细计算,还能求得这说明处取极大值,从而知道在点的任意
6、小邻域内,对每一个x的值,会有多个y的值与之对应.类似地,对每一个x的值,也会有多个z的值与之对应.所以方程组(5)在点近旁不能惟一确定以x作为自变量的隐函数组.2007年8月25南京航空航天大学理学院数学系例2设函数具有连续的偏导数,是由方程组所确定的隐函数组.试求解设则有2007年8月26南京航空航天大学理学院数学系由此计算所需之雅可比行列式:于是求得2007年8月27南京航空航天大学理学院数学系注计算隐函数组的偏导数(或导数)比较繁琐,要学懂前两例所演示的方法(利用雅可比矩阵和雅可比行列式),掌握其中的规律.这里特别需要“精心＋细心＋
7、耐心”.2007年8月28南京航空航天大学理学院数学系公式：2007年8月29南京航空航天大学理学院数学系（分以下几种情况）隐函数的求导法则三、小结2007年8月30南京航空航天大学理学院数学系思考题2007年8月31南京航空航天大学理学院数学系思考题解答2007年8月32南京航空航天大学理学院数学系练习题2007年8月33南京航空航天大学理学院数学系2007年8月34南京航空航天大学理学院数学系2007年8月35南京航空航天大学理学院数学系练习题答案2007年8月36南京航空航天大学理学院数学系2007年8月37南京航空航天大学理学院数学
8、系
