高考数学 第八章 直线与圆的方程 第6节圆的方程 课件 苏教版.ppt

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1、第八章直线与圆的方程第六课时圆的方程考纲要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知识梳理一、圆的标准方程设圆心C坐标(a,b)，半径是r,则圆C的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地，圆心为O(0,0)时，标准方程为x2+y2=r2.二、圆的一般方程当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，其圆心为_________，半径r=_________三、圆的直径式方程以(x1,y1)、(x2,y2)为直径的圆的方程可写为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.四、二元二次

2、方程表示圆的充要条件设二元二次方程为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.①故方程①表示圆的充要条件为：A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0，而A=C≠0，B=0，只是方程①表示圆的必要条件.五、常见的圆系方程及其应用（属知识拓展）1.过定直线l:Ax+By+C=0和定圆x2+y2+Dx+Ey+F=0两交点的圆系：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.2.过两定圆x2+y2+D1x+E1y+F=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2

3、)=0，当λ=-1时，方程表示两圆公共弦所在直线方程.基础自测1.圆x2＋y2－2x＋2y=0的周长是（）A.2πB.C.D.4π答案：C2.方程x2＋y2＋2k2x－y＋k＋1/4=0所表示的曲线关于y＋2x＋1=0对称，则k的值为（）A.B.C.D.不存在答案：B3.（2009年陕西卷）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为__________.4.（2008年天津卷）已知圆C的圆心与点P（-2，1）关于直线y=x+1对称.直线3x+4y-11=0与圆C相交于A、B两点，且

4、AB

5、=6，则圆C的方程为x2+(y+

6、1)2=18.典例试解根据下列条件，求圆的方程.(1)和圆O：x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4；(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为思路分析:在用待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程;若已知条件与圆心、半径的关系不大，则设圆的一般方程.(1)设圆心Q的坐标为(a，b)，∵⊙O与⊙Q相外切于P，∴O、P、Q共线，且∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16.(2)显然，所求圆的圆心

7、在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：即x+y-1=0，解方程组x+y-1=02x+3y+1=0得圆心C的坐标为(4，-3).又圆的半径r=

8、OC

9、=5,∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.(3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0①将P、Q点的坐标分别代入①，得：4D-2E+F=-20②D-3E-F=10③令x=0，由①得y2+Ey+F=0④由已知

10、y1-y2

11、=，其中y1、y2是方程④的两根.∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48⑤解由②、③、⑤组成的方程组，得D=-2E=0F=-12

12、D=-10E=-8F=4或故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.点评：无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求.一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式.变式探究1.求经过点A(5,2)、B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.答案：(x-4)2+(y-5)2=10一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为，求此圆的方程.思路分析:利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解析：因圆与y轴相切，且

13、圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+(y-b)2.又因为直线y=x截圆得弦长为，则有解得b=±1.故所求圆方程为（x－3)2+（y－1)2=9或（x+3)2+（y+1)2=9.点评:在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.变式探究2.一圆经过两点A(4,2)、B(-1,3)，且在两坐标轴上四个截距之和为2，求圆的方程.答案：x2+y2-2x-12

14、=0求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程.思路分析:面积最小的圆即为半径是最小的圆.解析：设所求圆的