经济数学基础(第二版)电子教案新teaching_06_04.doc

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1、6.4二元函数的极值6.4.1无条件极值　　定义6.7　设函数在点某一邻域内有定义，如果对邻域内的任意异于的点，有，则称是函数的极大值；如果，总有．则称是函数的极小值．　　函数的极大值和极小值统称为极值，使取得极值的点称为极值点．在求函数的极值时，如果没有其他任何限制条件，则此极值问题称为无条件极值问题.否则称之为条件极值问题．求一个函数的无条件极值，通常意味着在整个坐标平面或某个开区域内进行讨论．例1　求的极值．　　解　在点的某邻域内，对任意的点，有．　　所以，函数在处有极大值．　　定理6.2(极值的必要

2、条件)　如果函数在点处有极值，且在处存在一阶偏导数，则，．　　使各一阶偏导数等于零的点称为驻点.注意：根据定理6.2，当函数存在一阶偏导数时，极值点必为驻点．但是，驻点未必是极值点．二元函数的极值也可能在偏导数不存在的点处达到．这与一元函数极值的有关结论是十分相似的．　　定理6.3(极值存在的充分条件)　如果函数在点的某一邻域内有二阶连续偏导数，且，.记，，，则(1)当时，则不是极值；　(2)当，且时，则是极大值；　(3)当，且时，则是极小值；　(4)当时，不能判定是否为极值．这时，需用其他方法判定．例

3、2　求函数的极值．解，.令．．即解可得驻点和．又，，．　　对于驻点，，，，．所以．根据定理6.3，点(0,0)不是极值点.　　对于驻点，，，．所以，　　根据定理6.3，函数在点处取得极小值．　　例3　求函数的极值．其中,.解　，.令，，得驻点.又，，．所以，，，又，所以函数在处有极小值6.4.2条件极值在求函数的极值时，如果自变量，必须满足一定的条件，这样的极值问题称为条件极值问题．称为约束条件或约束方程．所求出的极值称为条件极值．　　求解条件极值问题的方法——拉格朗日乘数法．首先构造拉格朗日函数：，其中称

4、为拉格朗日乘数．然后，求的关于，，的偏导数，并令它们等于零．求解方程组：此方程组的解就是可能极值点.最后判别是否为极值点．一般可以根据问题的实际背景直接判定．　　例4　某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告．根据统计资料，销售收入(百万元)与报纸广告费用(百万元)和电视广告费用(百万元)之间的关系有如下的经验公式：　　(1)如果不限制广告费用的支出，求最优广告策略．　　(2)如果可供使用的广告费用为150万元，求相应的最优广告策略．解(1)设该公司的净销售收入为．令　　得驻点(百万元)，(百万

5、元)．又，，，所以，在点(0.75，1.25)处，有.所以，函数在(0.75，1.25)处有极大值，因极大值点唯一,故在(0.75，1.25)处也是最大值，即最优广告策略为报纸广告费为75万元，电视广告费为125万元.　　(2)如果广告费限定为150万元，则需求函数在条件下的条件极值．设．得，.　　根据问题的实际意义，在点(0，1.5)处有条件极值．即将广告费全部用于电视广告，可使净收入最大．