2012届高三数学第二轮复习(数列综合)

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1、数列综合★★★高考要考什么本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综

2、合题新意层出不穷．常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．★★★突破重难点【范例1】已知数列，满足，，且（）（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式．解：（Ｉ）由题设得，即（）易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为．（II）解：由题设得，令，则．易知是首项为，公比为的等比数列，

3、通项公式为．由解得，求和得．7【变式】（理）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝

4、（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.【范例2】已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。7解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；（2），=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），（3），而，即，，同理，，又【变式】对任意函数f（x），x∈D，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经

5、数列发生器输出x1＝f（x0）；②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f（x1），并依此规律继续下去．现定义f（x）=．（Ⅰ）若输入x0＝，则由数列发生器产生数列｛xn｝．请写出数列｛xn｝的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（Ⅲ）（理）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足：对任意正整数n,均有xn＜xn＋1，求x0的取值范围．解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域D＝（－∞－1）∪（－1，＋∞）∴数列｛xn｝只有三项x1＝，x2＝，x3＝－1（Ⅱ）∵f（x）＝＝x即x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2即

6、x0＝1或2时，xn＋1＝＝xn，故当x0＝1时，x0＝1；当x0＝2时，xn＝2（n∈7N）（Ⅲ）解不等式x＜，得x＜－1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x2＜－1或1＜x1＜2对于函数f（x）＝。若x1＜－1，则x2＝f（x1）＞4，x3＝f（x2）＜x2当1＜x1＜2时，x2＝f（x）＞x1且1＜x2＜2依次类推可得数列｛xn｝的所有项均满足xn＋1＞xn（n∈N）综上所述，x1∈（1，2），由x1＝f（x0），得x0∈（1，2）【范例3】已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（II

7、I）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增解：（I）当时，由已知得．因为，所以．……①于是．……②由②－①得．……③于是．……④由④－③得，……⑤所以，即数列是常数数列．（II）由①有，所以．由③有，，所以，．而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，7所以，，，数列是单调递增数列且对任意的成立．且．即所求的取值集合是．（III）解法一：弦的斜率为任取，设函数，则记，则，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，所以时，，从而，所以在