中值定理证明题20141229.ppt

《中值定理证明题20141229.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理泰勒中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应

2、用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.题型小结1.应用洛必达法则求未定式的极限3.最大值、最小值及应用2.函数性态的研究及作图4.函数方程根的讨论根的存在性，根的唯一性，根的个数函数的单调性与函数的凹凸性，极值、极值点及拐点5.等式、不等式的证明微分中值定理，利用函数的性态（单调性，凹凸性，极值，最值）例1.(1)选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：分析：由拉格朗日中值定理得：B单调增加,在P1822例1

3、.(2)(3)证:例2.设函数在上有三阶导数，且，又函数，证明在内至少存在一点，使得．证由条件知函数在区间上三阶可导，因故存在点，使得，由此得，所以存在，使得又，得，由此得，使得例3.设函数在上连续，在内二阶可导，且，．证明：至少存在一点，使得．证由拉格朗日中值定理知，存在，使得同理，存在，使得在区间上再一次使用拉格朗日中值定理，知存在，使得例4.证分析问题转化为证例4.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点例4.设在内可导,且

4、证明至少存在一点使上连续,在分析问题转化为证设辅助函数卸磨杀驴，脱掉对数函数.例5.设函数在上连续，在内可导，且证明：至少存在一点，使得设辅助函数则由零点定理证:问题转化为证至少存在一点知存在例5.设函数在上连续，在内二阶可导，且证明：至少存在一点，使得分析结论转化为设辅助函数知存在最大值点则由费马引理得例5.设函数在上连续，在内二阶可导，且证明：至少存在一点，使得设辅助函数知存在最大值点则由费马引理得证:问题转化为证至少存在一点设,函数在上连续,在内可导,试证在内至少存在一点使成立.分析：将所证等式变形为或可见

5、，应对与在上应用证明:设由题设知,与在上满足柯西中值定理的条件。由柯西中值定理可知，柯西中值定理.P1828例6.总结：利用中值定理证明相关命题，关键是根据题目的特点，寻找合适的定理及相应的辅助函数。步骤如下：（1）构造辅助函数；（2）确定区间；（3）验证定理条件。亦即在内至少存在一点,使即例7.设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考:若题中改为其他不变时,如何设辅助函数?例8.设在上存在,且单调递减,有证:设则所以当令得即所

6、证不等式成立.证明对一切例9’证不妨设例10.证明：从而f(x)在内单调增加因此当时f(b)f(a)0即例10.证明：例11.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即3.已知函数内可导,且证:(1)令故存在使即(2005考研）内可导,且(2)根据拉格朗日中值定理,存在使3.已知函数阶导数,且存在相等的最大值,并满足4.设函数证:据泰勒定理,存在使由此得即有(2007考研）情形1.则有内具有二阶导数,且存在相等的最大值,并满足情形2.因此据零点定理,存

7、在即有则有4.设函数应用罗尔定理得内具有二例1.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证例5.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(2003考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗

8、尔定理知,必存在例8.证明在上单调增加.证:令在[x,x+1]上利用拉氏中值定理,故当x>0时,从而在上单调增.得例1设在上，，证明函数在上是单调增加的．证当时，有根据拉格朗日中值定理是单调增加的．因而故故在上是单调增加的．例1设在上，，证明函数在上是单调增加的．证当时，有因而故是单调增加的．因而在上是单调增加的．证明:存在使设可导，且在连续，证:设辅助函数因此至少存在显