高考数学椭圆讲练

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1、椭圆(一)椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于

2、

3、这个条件不可忽视.若这个距离之和小于

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5、，则这样的点不存在；若距离之和等于

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7、，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.(二)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.⑴范围：-a≤x≤a，-b≤x≤b

8、，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.⑵对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一

9、条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为

10、参数）.说明:⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6.椭圆的切线方程(1)椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是7.直线与椭圆相交的弦长公式若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；

11、高考题型解析（1）第一定义——把椭圆从圆中分离椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异.它从圆中带来了中心和定长，但又产生了2个新的定点——焦点.准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.【例1】若点M到两定点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2，则点M的轨迹是（）.椭圆.直线.线段.线段的中垂线.【解析】注意到且故点M只能在线段上运动，即点M的轨迹就是线段，选C.【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选A.（2）勾股数组——椭圆

12、方程的几何特征椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c，满足.在a、b、c三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第3个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上.所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.【例2】已知圆，圆内一定点（3，0），圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程.【解析】如图，设两圆内切于C，动点P（x，y），则A、P、C共线.连AC、PB，∵为定长，而A（-3，0），B（3，0）为定点，∴圆心的轨迹是椭圆.且.所求轨迹方程为：.（3）第二定义——椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟如

13、果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释，我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.【例3】已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2距离的比例中项.【解析】由椭圆方程知：.椭圆的左准线为：.设存在椭圆上一点P（x，y）（x<0）符合所设条件.作PH⊥l于H.令，则有：.但是.∴.又.这与矛盾.故在椭圆左侧上不存在符合题设条件的点.●通法特法妙法（1）解析法——解析几何存在的理由解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式

14、下，平面上任意一条曲线都唯一对应着一个二元方程.反之，根据任意一个二元方程，都可以用描点法唯一