《线性方程组的结构》PPT课件.ppt

《《线性方程组的结构》PPT课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、4.4线性方程组解的结构4.4.1.齐次线性方程组4.4.2.非齐次线性方程组4.4.1齐次线性方程组即AX=0定理设A=(1,2,…,n)，则下列命题等价：1o1,2,…,n线性相关;2oAX=0有非零解;3o（无关）（只有零解）齐次线性方程组解的性质：AX=0的解向量的线性组合仍为AX=0的解.证A(k11+k22+…+kss)=A(k11)+A(k22)+…+A(kss)=k1A1+k2A2+…+ksAs=k10+k20+…+ks0=0.性质若1,2,…,s为AX=0的解，则k11

2、+k22+…+kss也是AX=0的解.对于加法和数乘运算是封闭的，一个齐次方程组的全体解向量组成的集合：W={XRn

3、AX=0}因此为Rn的子空间,W称为AX=0的解空间.W的任一组基称为AX=0的一个基础解系1,2,…,s是AX=0的基础解系的充要条件：2oAX=0的任一解向量均可由1,2,…,s线性表出；1o1,2,…,s是AX=0的一组解;3o1,2,…,s线性无关.AX=0仅有0解时有基础解系吗？齐次线性方程组的通解例求齐次线性方程组解由此即得的通解.是基础解系线性方程组基础解系的求法设

4、齐次线性方程组AX=0，R(A)=r，现对取下列组数：得从而求得原方程组的个解：则是齐次线性方程组的基础解系．解空间的基础解系不是唯一的.注:定理设齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r

5、的向量组也是该方程组的基础解系．证证明：证明：例：4.4.2非齐次线性方程组向量表示何时无解?何时有唯一解?何时有无穷多解?问题定理设A=(1,2,…,n)，则下列命题等价：1obL(1,2,…,n);2oAX=b有解;3o证明A(1-2)性质1设1,2为AX=b的解，则1-2为其导出组的解.=A1-A2=b–b=0定义称AX=0为AX=b的导出组.非齐次线性方程组解的性质：证明A(+)性质2设为AX=b的解，为AX=0的解，则+为AX=b的解.=A+A=b+0=b非齐次方程组的

6、全体解向量组成的集合，对于加法和数乘运算不是封闭的，因此不是一个向量空间注AX=b的任一解称为AX=b的特解定义性质3设0为AX=b的一个特解,则AX=b的任一解可表为=0+,(为AX=0的一个解)证明=0+(-0)为AX=0的解，设为(b)为导出组AX=0的基础解系，则非齐次方程组AX=b的任意解X有(a)设为非齐次方程组AX=b的任意一个特解所以非齐次方程组的解的结构为：导出组的通解+非齐次方程组的一个特解求解方程组解例例设有线性方程组解(1)=1时，有无穷多解得同解方程组x1=1-x2–x3非齐

7、次特解：0=(1,0,0)T原方程组通解：X=0+k11+k22,k1,k2R导出组基础解系：1=(-1,1,0)T,2=(-1,0,1)T(2)=-2时，无解(3)≠1,-2时，有惟一解：例非齐次方程的特解例导出组的基础解系例系数矩阵A的秩等于的秩，证明上述方程组有解.证又故1.证例已知四元齐次方程组另一四元齐次方程组的通解为2.，解小结2．齐次线性方程组基础解系的求法1．齐线性方程组解的情况ÛÛ有无穷多解.bAX=3．非齐线性方程组解的情况4．非齐次线性方程组解的结构