2019_2020学年高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5.ppt

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1、2.2　等差数列第2课时　等差数列的性质目标定位重点难点1.掌握等差数列的定义和通项公式．2．探索发现等差数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问题.重点：等差数列的性质．难点：等差数列性质的应用.1．等差数列{an}的一些简单性质(1)对于任意正整数n，m都有an－am＝________.(2)对任意正整数p，q，r，s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq____ar＋as.特别地对任意正整数p，q，r，若p＋q＝2r，则ap＋aq＝______.(3)对于任意非零常数b，若数列{an}成等差数列，公差为d，则{ban}也成等差数列且公差为______．(n－m)d

2、＝2arbd(4)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn，则{cn}，{dn}都是__________．(5)等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列．如a1，a4，a7，…，a3n－2，…成等差数列．2．等差数列的单调性等差数列{an}的公差为d，则当d＝0时，等差数列{an}是常数列；当d＜0时，等差数列{an}是单调递减数列；当d＞0时，等差数列{an}是单调递增数列．等差数列2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20D．24【答案】B【解析】因为数列{an}是等差

3、数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.3．已知数列{an}中，a5＝10，a12＝31，则其公差d＝______.【答案】34．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．【答案】30【解析】∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.【例1】在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1D．6【解题探究】注意等差数列通项公式及性质的应用．【答案】B利用等差数列的通项公式或性质解题【解析】方法一

4、：设公差为d，∵a4＝a2＋2d，即2＝4＋2d，∴d＝－1，∴a6＝a2＋4d＝0.方法二：由等差数列的性质可知a2，a4，a6成等差数列，所以2a4＝a2＋a6，即a6＝2a4－a2＝0.【方法规律】等差数列的性质：对任意正整数p，q，r，s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as.在牢记等差数列的通项公式时，灵活运用等差数列的性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝()A．45B．50C．75D．60【答案】B【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a

5、12＋a13＝3a12＝118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝50.故选B．【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．【解题探究】此题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．灵活设元求解等差数列【方法规律】常见设元技巧：(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d；(

6、3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．【例3】某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解题探究】在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．等差数列的实际应用【解析】由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获

7、利构成等差数列{an}且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．【方法规律】在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．【示例】已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d且a11＝－26，a51＝54，则该数列从第几项开始为正数？忽略了对“从第几项开始为正数”的理解而致