2019_2020学年高中数学第2章数列2.2等差数列（第2课时）等差数列的性质学案新人教A版必修5

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1、第2课时　等差数列的性质学习目标核心素养1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)．1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养.2.借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.1．等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．思考：由上式可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？[提示]　等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数

2、，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝.2．等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{can}(c为任

3、一常数)是公差为cd的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．思考：若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？[提示]　不一定．如常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于(　　)A．5B．8　　　C．10　

4、　　D．14C　[a1＋a7＝a3＋a5＝10.]2．等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于(　　)A．2B．20C．100D．不确定A　[∵a100－a90＝10d，∴10d＝20，即d＝2.]3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________．33　[由题意得d＝＝＝3.∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.]4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________．15　[由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，∴a12＝15.]灵活的设元解等差数列【例1】　已知四个数成等差数列，它

5、们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．[解]　法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得解得或∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得化简，得解得或∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得化简，得解得∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．2．当已知数列有

6、2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．[解]　设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有整理得解得a＝1，d＝±.当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.等差数列的实际应用【例2】　甲、乙两人

7、连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．甲　　　　　　　　乙请你根据提供的信息回答问题．(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．思路探究：解决本题关键是构造