《对坐标的曲面积分》PPT课件.ppt

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1、一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系§9.5对坐标的曲面积分上页下页铃结束返回首页有向曲面•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)当cos0时n所指的一侧是上侧当cos0时n所指的一侧是下侧一、对坐标的曲面积分的概念与性质下页有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧设n(coscoscos)为曲面上的法向量当cos0时n所

2、指的一侧是上侧当cos0时n所指的一侧是下侧一、对坐标的曲面积分的概念与性质下页有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧设n(coscoscos)为曲面上的法向量类似地如果曲面的方程为yy(zx)则曲面分为左侧与右侧在曲面的右侧cos0在曲面的左侧cos0如果曲面的方程为xx(yz)则曲面分为前侧与后侧在曲面的前侧cos0在曲面的后侧cos0闭曲面有内侧与外侧之分曲面在坐标面上的投影下页在有向曲面上

3、取一小块曲面S用()xy表示S在xOy面上的投影区域的面积假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的)我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx提示通过Si流向指定侧的流量近似为viniSi流向曲面一侧的流量相关知识下页设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))给出是速度场中的一片有向曲面函数v

4、(xyz)在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量把曲面分成n小块S1S2Sn(Si也代表曲面面积)在Si上任取一点(iii)通过流向指定侧的流量近似为流向曲面一侧的流量下页设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))给出是速度场中的一片有向曲面函数v(xyz)在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量把曲面分成n小块S1S2Sn(

5、Si也代表曲面面积)在Si上任取一点(iii)通过流向指定侧的流量近似为在上述和中令各小曲面直径中的最大值0就得到流量的精确值对坐标的曲面积分的定义下页设为光滑的有向曲面函数R(xyz)在上有界把任意分成n块小曲面S1S2Sn(Si也代表曲面面积)Si在xOy面上的投影为(Si)xy(i,i,i)是Si上任意取定的一点如果当各小块曲面的直径的最大值0时极限总存在则称此极限为函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、类似地

6、可定义对坐标y、z的曲面积分和对坐标z、x的曲面积分下页对坐标的曲面积分的定义函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分下页对坐标的曲面积分的定义函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分函数P(xyz)在有向曲面上对坐标y、z的曲面积分函数Q(xyz)在有向曲面上对坐标z、x的曲面积分上述曲面积分也称为第二类曲面积分其中P、Q、R叫做被积函数叫做积分曲面下页对坐标的曲面积分的简写形式在应用上出现较多的是为简便起见这种合起来的形式简记为对坐标的曲面积分的性质对

7、坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质(1)如果把S分成S1和S2则(2)设S是有向曲面S表示与S取相反侧的有向曲面则首页二、对坐标的曲面积分的计算法讨论如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？下页设积分曲面由方程zz(xy)给出的在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(xyz)在上连续则有其中当取上侧时积分前取“”当取下侧时积分前取“”应注意的问题:(3)曲面S取哪一侧;(2)向哪个坐标面投影;(1)曲

8、面S用什么方程表示;(4)积分前取什么符号.下页方体的整个表面的外侧{(xyz)

9、0xa0yb0zc}把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6解除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此下页方体的整个表面的外侧{(xyz)

10、0x