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1、小结思考题作业预备知识概念的引入概念与性质对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系surfaceintegral第五节对坐标的曲面积分1观察以下曲面的侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧1.有向曲面通常光滑曲面都有两侧.如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等.(假设曲面是光滑的)对坐标的曲面积分一、预备知识2有两侧的曲面.规定(1)双侧曲面2.曲面的分类法向量的方向来区分曲面的两侧.对坐标的曲面积分3(2)单侧曲面莫比乌斯(Mobius)带.B、C粘在一起形成的环不通过边界可以这在双侧曲面上是不能实
2、现的.决定了侧的曲面称为它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起，行带.小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去.有向曲面.对坐标的曲面积分Mobius(1790--1868)19世纪德国数学家43.有向曲面在坐标面上的投影设Σ是有向曲面.恰好等于与坐标面xOy的二面角.假定的余弦上各点处的法向量与z轴的夹角有相同的符号.在有向曲面取一小块对坐标的曲面积分5类似地,可定义在yOz面及zOx面的投影:希自己写出在xOy面上的投影在xOy面上的投影区域的面积附以一定的实际上就是正负号.的二面角.对坐
3、标的曲面积分6流向曲面一侧的流量.流量实例(为平面A的单位法向量)(斜柱体体积)(1)流速场为常向量有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).对坐标的曲面积分二、概念的引入7(2)设稳定流动的不可压缩流体给出,函数流体的密度与速度均不随时间而变化(假定密度为1)的速度场由当不是常量,曲面求在单位时间内流向指定侧的流体的质量是速度场中的一片有向曲面,对坐标的曲面积分8分割则该点流速为，法向量为对坐标的曲面积分9常向量,有向平面求和取近似该点处曲面Σ的单位法向量高底对坐标的曲面积分通过Σ流向
4、指定侧的流量kjiniiiirrrrgbacoscoscos++=),cos(
5、
6、iiinvvrrr10取极限对坐标的曲面积分111.定义三、概念与性质定义对坐标的曲面积分12或称被积函数积分曲面存在,则称此极限为第二类曲面积分.记作即如曲面为封闭曲面:对坐标的曲面积分13类似可定义2.存在条件对坐标的曲面积分存在.在有向光滑连续,对坐标的曲面积分143.组合形式4.物理意义如:上述流向Σ指定侧的流量φ为:对坐标的曲面积分155.性质(1)(2)(3)对坐标的曲面积分当曲面Σ(4)是母线平行于z轴的柱面时,
7、表示Σ相反的一侧,,的曲面积分性质对坐标zxyz.也有类似的结果16对坐标的曲面积分上侧,四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面Σ是由的曲面Σ在xOy面上的投影区域为函数具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,y,z)在Σ上连续.17Σ取上侧即对坐标的曲面积分xyxyiS)()(sDD=18对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的注侧.对坐标的曲面积分19计算对坐标的曲面积分时:(1)认定对哪两个坐标的积分,将曲面Σ表为这两个变量的函数,并确定Σ的投影域.(2)将Σ的方程代入被积函数,化为投影域上的二重积分.(3
8、)根据Σ的侧(法向量的方向)确定二重积分前的正负号.对坐标的曲面积分20解投影域对坐标的曲面积分例计算其中Σ是球面外侧在的部分.21极坐标对坐标的曲面积分22例其中Σ是所围成的正方体的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3先计算由于平面都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.解三个坐标面与平面外侧.对坐标的曲面积分Σ123x=a面在yOz面上的投影为正,而x=0面在yOz面上的投影为负.投影域均为:0≤y≤a,0≤z≤a,故由x,y,z的对等性知,所求曲面积分为3a4.后两个积分值也等于a4.对坐标的
9、曲面积分Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3Σ124设有向曲面Σ是由方程函数具有一阶连续偏导数,给出,五、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分Σ在xOy面上投影区域为对坐标的曲面积分为被积函数R(x,y,z)在Σ上连续.25曲面Σ的法向量的方向余弦为对面积的曲面积分为所以(注意取曲面的两侧均成立)对坐标的曲面积分26两类曲面积分之间的联系类似可得不论哪一侧都成立.对坐标的曲面积分其中是有向曲面Σ在点处的法向量的方向余弦.27解例下侧.对坐标的曲面积分28对坐标的曲面积分由对称性29例其中Σ解法一直接用对坐标的曲面积分计算
10、法.且其投影区域分别为由于Σ取上侧,在第一卦限部分的上侧.面的投影都是正的,对坐标的曲面积分30取上侧对坐标的曲面积分òò-+--1010d)222(dxyxyxx31法二利用两类曲面积分的联系计算.Σ取上侧,锐角.则法向量n与z轴正向的夹角为对坐标的曲面积分32对坐标的曲面积分yxzzSyxdd1d22++=33若分片光滑的闭曲面Σ0其中注补充x的偶函数x的奇函数曲面Σ不封闭也可以.取外侧(内侧仍成立),那末关
