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1、第三章线性代数方程组及矩阵特征值3.0预备知识3.1直接法3.2迭代法3.3不可解问题3.4病态问题§3.0预备知识一、对角阵与三角阵1、对角阵：diag(A)提取m×n的矩阵A的主对角线上元素，生成一个具有min(m,n)个元素的列向量diag(A,k)提取第k条对角线的元素diag(V)设V为具有m个元素的向量，将产生一个以向量V的元素为主对角线元素的m×m对角矩阵diag(V,k)产生一个以向量V的元素为第k条对角线的元素的n×n(n=m+k)对角阵2、矩阵的三角阵下三角矩阵tril(A)提取矩阵A的下三角阵tril(A,k)提
2、取矩阵A的第k条对角线以下的元素上三角矩阵triu(A)提取矩阵A的上三角矩阵triu(A,k)提取矩阵A的第k条对角线以下的元素二、用于专门学科中的矩阵(1)魔方矩阵魔方矩阵是每行、每列及两条对角线上的元素和都相等的矩阵。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成.magic(n)生成一个n阶魔方阵,各行各列及两条对角线和为(1+2+3+...+n2)/n例>>magic(5)ans=17241815235714164613202210121921311182529例：将101~125等25个数填入一个5行5列的表
3、格中，使其每行每列及对角线的和均为565。命令如下：M=100+magic(5)(2)范得蒙矩阵范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例>>A=vander([1;2;3;5])A=11118421279311252551(3)希尔伯特矩阵（Hilbert）Hilbert矩阵的每个元素hij=1/(i+j-1)hilb(n)生成n阶希尔伯特矩阵invhilb(n)专求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵注意1：高
4、阶Hilbert矩阵一般为病态矩阵，所以直接求逆可能出现错误结论，故应该采用invhilb(n)注意2：由于Hilbert矩阵本身接近奇异，所以建议处理该矩阵时建议尽量采用符号运算工具箱，若采用数值解时应该验证结果的正确性(4)托普利兹矩阵(toeplitz)toeplitz矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。toeplitz(x,y)生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x,y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。例>>T=toeplitz([1:5],[
5、1:7])T=12345672123456321234543212345432123(5)帕斯卡矩阵二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。pascal(6)ans=111111123456136101521141020355615153570126162156126252例求(x+y)5的展开式。pascal(6)次对角线上的元素1，5，10，10，5，1即为展开式的系数。三、向量和矩阵的范数norm(
6、V)或norm(V,2)求向量V（或矩阵V)的2范数norm(V,1)求向量V（或矩阵V）的1范数norm(V,inf)求向量V（或矩阵V)的∞范数例已知V，求V的3种范数。命令如下：V=[-1,1/2,1];v1=norm(V,1)%求V的1范数v2=norm(V)%求V的2范数vinf=norm(V,inf)%求V的∞范数常用的向量范数:范数意义下的单位向量:X=[x1,x2]T1-11
7、
8、X
9、
10、1=111-1-1
11、
12、X
13、
14、2=1-111-1-1
15、
16、X
17、
18、∞=1常用的矩阵范数:例求矩阵A的三种范数命令如下：A=[17,0,1,0,
19、15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19];a1=norm(A,1)%求A的1—范数a2=norm(A)%求A的2—范数ainf=norm(A,inf)%求A的∞—范数四、矩阵的逆与伪逆1、矩阵的逆（后面研究完Gauss消去法后还将给出求逆的方法）求方阵A的逆可用inv(A)注意：该函数也适用于符号变量构成的矩阵的求逆例用求逆矩阵的方法解线性方程组。命令如下：A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];b=[5,–2,6]';x=inv(A)*b一般情况下，用左除
20、x=Ab比求矩阵的逆的方法更有效(因为A奇异或接近奇异时，用inv(A)可能出错)例：Hilbert矩阵（非常有名的病态矩阵）：验证从5×5到14×14的Hilbert矩阵病态特征clearformatlong;for
