matlab解线性方程组.ppt

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1、第一讲矩阵和线性方程组一、数学理论复习1、线性方程组记为Ax=b其中A=(aij)m×nx=(x1,…,xn)’,b=(b1,…,bm)’若秩(A)秩(A,b)，则无解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)

2、b）行变换（U

3、v）其中U是行简化阶梯形矩阵(1)阶梯形矩阵(2)每行首个非零元素为1,并且该1所在列其它元素都为02、逆矩阵方阵A称为可逆

4、的，如果存在方阵B，使AB=BA=E，记B=A-1方阵A可逆的充分必要条件:A0求逆矩阵方法：A-1=A*/

5、A

6、这里A*为A的伴随矩阵（AE）行变换（EA-1）3、特征值与特征向量对于方阵A，若存在数和非零向量x使Ax=x，则称为A的一个特征值，x为A的一个对应于特征值的特征向量。特征值计算归结为:特征多项式

7、A-E

8、=0的求根。对应于特征值的特征向量是齐次线性方程组(A-E)x=0的所有非零解二、使用MATLABdet方阵的行列式diag对角阵inv方阵的逆cond方阵的条件数trace方阵的迹orth正交规范化rank矩

9、阵的秩null求基础解系rref矩阵的行最简形eig特征值与特征向量jordan约当标准形分解norm矩阵或向量范数1、特殊矩阵生成zeros(m,n)生成m行n列的零矩阵;ones(m,n)生成m行n列的元素全为1的阵;eye(n)生成n阶单位矩阵;当A是矩阵,diag(A)返回A的对角线元素构成的向量;当X是向量,diag(X)返回由X的元素构成的对角矩阵；rand(m,n)生成m行n列[0,1]上均匀分布随机数矩阵；linspace(x1,x2,n)生成x1与x2间的n维等距行向量,即将[x1,x2]n-1等分。2、行列式和逆矩阵det(A

10、)返回方阵A的行列式;inv(A)返回A的逆矩阵。3、矩阵除法左除法AB求解矩阵方程AX=B右除法B/A求解矩阵方程XA=B(1)当A为方阵，AB与inv(A)*B基本一致：(2)当A不是方阵，除法将自动检测。若方程组无解,除法给出最小二乘意义上的近似解，即使向量AX－B的长度达到最小；若方程组有无穷多解，除法将给出一个具有最多零元素的特解；若为唯一解，除法将给出解。4、特征值和特征向量D=eig(A)返回方阵A的特征值构成的列向量；[V,D]=eig(A)返回方阵A的特征值构成的对角阵D和每个特征值对应的特征向量按列构成的矩阵V。其中每个特

11、征向量都是模等于1的向量，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化。例1解下列方程组»A=[12;3-2];»B=[1;4];x=AB求得唯一解»A=[121;3-21];»B=[1;4];x=AB求得一特解»A=[12;3-2;1-1];»B=[1;4;2];x=AB求得一最小二乘近似解»A=[12;-2-4];»B=[1;-2];x=AB不能直接求解»A=[12;-2-4;00];»B=[1;-2;0];x=AB仍可求一近似特解增加方程0x+0y=0例2线性方程组的通解解在无穷多解情况下可用三种方法求通解，●用rref化为行最简

12、形以后求解；●用除法求出一个特解，再用null求得一个齐次组的基础解系；●用符号工具箱中的solve求解。a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];r=[rank(a),rank([a,b])];x0=ab,xx=null(a);%x0为一特解,xx为对应齐次组的基础解系运行后得:r=(2,2)说明系数矩阵秩和增广矩阵秩相等,自由未知量为4-2=2个0010x0=-0.70710-0.70710-0.00000.7071-0.00000.7071xx=方法一:方程组的解=特解+对应齐次组的通解其中c1和c2为任意实

13、数结果为:t=1-1000001-1100000a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];r=[rank(a),rank([a,b])];t=rref([a,b]);%此时得出一个行简化阶梯形矩阵解法二:运行后得:从而知原方程组等价于虚线为等号结果为:其中c1和c2为任意实数例3判定下列线性方程组是否有解?若有解,求出其解a=[2-23;-11-2;1-11];b=[5;3;4];r1=rank(a);r2=rank([a,b])r1≠r2无解唯一解(2)a=[2-23;-11-2;2-31];b=[5;3;0];r

14、1=rank(a);r2=rank([a,b])r1=r2=3x=ab或x=inv(a)*b(3)a=[2-23;-11-2;1-11