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1、主讲教师：高彦伟总课时：124第一百一十二讲常微分方程高等数学吉林大学远程教育微分方程第六章—积分问题—微分方程问题推广第6章微分方程的基本概念机动目录上页下页返回结束§1了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的基本概念第6章引例.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.机动目录上页下页返回结束第6章常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)微分方程
2、的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或机动目录上页下页返回结束第6章—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.机动目录上页下页返回结束第6章例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件机动目录上页下页返回结束第6章主讲教师：高彦伟总课时：124第一百一十三讲常微分方程高等数学吉林大学远程教育可分离变
3、量微分方程机动目录上页下页返回结束§2解变量可分离方程变量可分离的微分方程第6章分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.机动目录上页下页返回结束第6章例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)机动目录上页下页返回结束
4、第6章例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为机动目录上页下页返回结束第6章例3:解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:机动目录上页下页返回结束第6章内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C机动目录上页下页返回结束第6章练习1.已知一阶微分方程（1）求通解；（2）求它过点（1，4）的特解；（3）求出与直线相切的解。解：（1）方程变形
5、为将方程两端积分，有（2）将点（1，4）代入通解，得所求特解为（3）解方程组由于相切，故根的判别式所求曲线为2.求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为机动目录上页下页返回结束第6章主讲教师：高彦伟总课时：124第一百一十四讲常微分方程高等数学吉林大学远程教育齐次方程机动目录上页下页返回结束会识别齐次方程，会求其解第6章§3齐次方程的定义形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束第6章例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任
6、意常数)机动目录上页下页返回结束第6章例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.机动目录上页下页返回结束第6章例3.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分故原方程的通解为(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束第6章主讲教师：高彦伟总课时：124第一百一十五讲常微分方程高等数学吉林大学远程教育一阶线性微分方程机动目录上页下页返回结束一、一阶线性微分方程的形式第6章二、掌握求通解的计算公式§4一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量
7、两边积分得故通解为称为齐次方程;机动目录上页下页返回结束第6章对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束第6章例1.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束第6章例2.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,y为自变量的
