一元方程的不动点迭代法.ppt

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1、6.2一元方程的不动点迭代法6.2.2局部收敛性和加速收敛法6.2.1不动点迭代法及其收敛性6.2.1不动点迭代法及其收敛性（6.2.1）的实根，先将它转化成等价形式（6.2.2）（6.2.3）把（6.2.1）转换成等价形式（6.2.2）的方法很多，迭代函数的不同选择对应不同的迭代法，它们的收敛性可能有很大的差异。当方程有多个解时，同一迭代法的不同初值，也可能收敛到不同的根。举例说明如下。例6.2解对应的迭代法分别为表6-2012111.51.51.357208812.375000001.330

2、8609612.3964844……1.324717961133-+kkxxk例6.3解对应的迭代法为表6-311.41421356-1.414213561.41421356-1.414213561.41421569-1.414215691.416666671.416666671.5-1.51-154320定理6.1(6.2.4)则对方程（6.2.2）有（6.2.5）证显然有（6.2.6）由估计式（6.2.5）可知，只要相邻两次计算结果的偏差足够小，且不很接近1，既可保证近似值具有足够的精度。因

3、此，可以通过检查的大小来判断迭代过程是否终止。并且，由（6.2.5）有（6.2.7）有时，对于一些不满足定理6.1的条件问题，可以通过转化，化为适合于迭代的形式。这要针对具体情况进行讨论。6.2.2局部收敛性和加速收敛法定理6.2上述定理称为局部收敛定理，它给出了局部收敛的一个充分条件。当迭代收敛时，收敛的快慢用下述收敛阶段来衡量。定义6.2（6.2.8）对，必有,k=1,2,…，而且其中在与之间。于是从而，在这种情况下，{xk}是线性收敛的。可见，提高收敛阶的一个途径是选择迭代函数，使它足。

4、下面给出整数阶超线形收敛的一个充分条件。定理6.3设是的一个不动点，若有正整数p2,使得在的领域上连续，并且满足则由迭代法生成的序列在的领域是p阶收敛的，且有证因，由定理6.2知迭代法(6.2.3)是局部收敛的。取充分接近的,设有，k=1,2,…。由Taylor展开式有其中在与之间。由(6.2.9)有由的连续性可得(6.2.10)。定理得证。对于线形收敛的迭代法，常常收敛的很慢，所以要在这些迭代法的基础上考虑加速收敛的方法。设因此，当k充分大时有从中解出得所以，我们在计算了之后，可以用上式右端作

5、为的一个修正值。这样，我们可将迭代法改造成下述过程，称为Steffensen迭代法：K01…2829Xk0.50.606530660…0.5671432820.567143295表6—4例6.6求方程的根。。解此方程等价于。由y=x和可以看出，只有一个不动点x*>0,都有,所以迭代法线性收敛。取初始值=0.5，迭代结果列于表6—4。准确解是=0.56714329040978…，可见线性收敛的速度是很慢的。如果使用Steffensen迭代法，仍取初值x0=0.5.则计算结果列于表6—5。与表6—4

6、比较，可见Steffensen迭代法比原方法收敛快得多，仅迭代4次就达到了原方法29次的结果。K01234Xk0.50.5676238760.5671433140.5671432900.567143290表6—5定理6.4设函数按（6.2.13）定义。（1）若x*是的不动点，在x*处连续，且，则x*也是的不动点；反之，若x*是的不动点，则x*也是的的不动点。（2）若x*是的不动点，在x*处连续，且,则Steffensen迭代法(6.2.11）至少具有二阶局部收敛性。证（1）若x*=，则当x=x*

7、时，（6.2.13）式的分子分母都为零。对它的极限用L’Hospitale法则，由于，得知从而。反之，若，则由（6.2.13）得知。于是，由对（6.2.14）的两边求极限，因为x*至少是p(x)和q(x)二重根，所以，使用两次L’Hospitale法则得其中（2）由（1）可知x*是的不动点，于是，由定理6.3，只要证明。对（6.2.13）两边求导得可见，在定理6.4的条件下，不管原迭代法收敛还是不收敛，由它构成的Steffensen迭代式（6.2.11）至少平方收敛。因此，Steffensen迭

8、代法是对原迭代法的一种改善。关于原迭代法不收敛的情形，举例如下。例6.7用Steffensen迭代法求方程的实根。解由例6.4可知，迭代法发散。现用构造Steffensen迭代法。表6—6K01…56Xk1.51.41629297…1.324717991.32471796仍取初值=1.5,计算结果如表6—6。可见，Steffensen迭代法对这种不收敛的情形同样有效。