2019_2020学年高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修1_1.ppt

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1、3.3.2函数的极值与导数目标定位重点难点1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2．理解极大值和极小值的概念3．掌握求可导函数极大值和极小值的方法和步骤重点：求函数极值的方法和步骤难点：函数极值的概念的理解1．极值与极值点若函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________．我们把a点叫作函数的______

2、__，f(a)叫作函数的________；f′(x)>0f′(x)<0极小值点极小值b点叫作函数的__________，f(b)叫作函数的________．极小值点、极大值点统称为____________，极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在某__________的大小情况，刻画的是函数的________性质．极大值点极大值极值点极值一点附近局部2．求函数f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧________，那么f(x0)是______；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧__

3、______，那么f(x0)是______；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)__________．f′(x)<0极大值f′(x)>0极小值不是极值2．已知函数y＝x3－3x＋2，则()A．y无极小值，也无极大值B．y有极小值0，但无极大值C．y有极小值0，极大值4D．y有极大值4，但无极小值【答案】C3．函数y＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()A．1，－3B．1,3C．－1,3D．－1，－3【答案】A4．函数y＝x3－6x＋a的极大值为______，极小值为______．【解题探究】按照求极值的基本方法求出定义域内所有可能的极

4、值点，再按照极值的定义判断在这些点处是否取得极值．求函数的极值当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值－3极大值－18设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方法是：(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点；(2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极大值；(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极小值．1．求函数f(x)＝x4－x3的极值．【例2】已知函数f(x)

5、＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值为－1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间．【解题探究】利用“可导函数f(x)在x＝x0处取得极值，则f′(x0)＝0”求解．函数极值的应用8已知函数极值，确定函数解析式中的参数时要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．2．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1，当且仅当x＝－1或x＝1时取得极值且极大值比极小值大4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的极大值和极小值．【解析】(1)f(x)＝x5

6、＋ax3＋bx＋1的定义域为R，f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.∵当x＝±1时有极值，∴5＋3a＋b＝0.∵f(1)＝a＋b＋2，f(－1)＝－a－b，极大值比极小值大4，∴(a＋b＋2)－(－a－b)＝4或(a＋b＋2)－(－a－b)＝－4，即a＋b＝1或a＋b＝－3.利用极值研究方程根的问题8对于该题中的恒成立问题，一方面可以构造函数，通过判别式确定m的最大值；另一方面可以通过求f′(x)的最小值来确定m的最大值．方程有零点可以通过导数将函数的大致图象画出来，根据图象求得参数的取值范围．【示例】若f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1时有极值10，求a＋b的值．导数为

7、零时不一定有极值【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得两组解进行检验，从而出现了错误．1．利用导数求函数极值的主要步骤：求f′(x)―→解方程f′(x)＝0―→判断f′(x)在各根左右两侧的符号，进一步确定函数的极值，如果在点x0两侧的单调性相反，则x0为极值点，否则它不是极值点．2．可导函数的极值点一定是导数为零的点，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数异号．3．一般地，列表分析x，y′，y的变化