2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程学案 (2).docx

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1、2．2．1　椭圆及其标准方程　1．了解椭圆的实际背景，理解从具体情境中抽象出椭圆的过程．　2．掌握椭圆的定义与标准方程．3．通过对椭圆及其标准方程的学习，了解用坐标法研究曲线的基本步骤．1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2．(3)焦距：两焦点间的距离

4、F1F2

5、．(4)几何表示：

6、MF1

7、＋

8、MF2

9、＝2a(常数)且2a＞

10、F1F2

11、．(1)在椭圆的定义中，注意到两定点的距离之和为定值，且“常数”大于两定点之间的距离．(2)椭圆的定义的双向运用：一方面，符合定义条件的

12、动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．2．椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c，0)(0，±c)a，b，c的关系a2＝b2＋c2标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　　)(2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　　)(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c

13、2．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则

14、PF1

15、＋

16、PF2

17、等于(　　)A．4　　　　　　　　　　B．5C．8D．10答案：D已知两焦点坐标分别为(2，0)和(－2，0)，且经过点(5，0)的椭圆的标准方程为(　　)A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1答案：C椭圆＋＝1的焦点坐标是________．答案：(0，±12)已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围为________．答案：探究点1　求椭圆的标准方程　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)

18、和(1，0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．【解】　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以所以所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1．(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知：2a＝＋＝2，即a＝．又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6．所以所求的椭圆的标准方程为＋＝1．(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，因为点P(－2，1)，Q(，－2)

19、在椭圆上，所以代入椭圆的方程得所以所以椭圆的标准方程为＋＝1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．　(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a＞b＞0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．　求适

20、合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)过点(－3，2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点．解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为2a＝26，2c＝10，所以a＝13，c＝5．所以b2＝a2－c2＝144．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．(2)已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，所以c2＝9－4＝5．设所求椭圆方程为＋＝1(λ>0)．则＋＝1．解得λ＝10或λ＝－2(舍)，故所求椭圆的标准方程为＋＝1．探究点2　椭圆定义的应用　已知P为

21、椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．【解】　在△PF1F2中，

22、F1F2

23、2＝

24、PF1

25、2＋

26、PF2

27、2－2

28、PF1

29、·

30、PF2

31、cos60°，即36＝

32、PF1

33、2＋

34、PF2

35、2－

36、PF1

37、·

38、PF2

39、．①由椭圆的定义得

40、PF1

41、＋

42、PF2

43、＝4，即48＝

44、PF1

45、2＋

46、PF2

47、2＋2

48、PF1

49、·

50、PF2

51、．②由①②得

52、PF1

53、·

54、PF2

55、＝4．所以S△F1PF2＝

56、PF1

57、·

58、PF2

59、·sin60°＝．1．[变条件]若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积．解：由椭圆

60、＋＝1知

61、PF1

62、＋

63、P