函数图象的交点与方程（组）解的关系探析.pdf

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1、数学篇<数理化解题~)2014年第jD期(~lrl1)函数图象的交点与方程(组)解的关系探析山东省昌邑市柳疃初中(261302)姜强柱●我们以一次函数图象与一次函数图象的交点、一次4与反比例函数Y=÷(k≠0)的图象有两个不同的交点函数图象与反比例函数图象的交点、一次函数图象与二次函数图象的交点为例，说明函数图象的交点坐标与方P。(。，y1)和P(茹2，)，且：++8x。：一2。：=0．求k程、方程组解的内在联系：的值．Y=一+4．1．如果一次函数Y=klx+b。(k。≠0，b。为常数>的图，解P、P2两点的坐标是方程组{。k的解．象与一次函数Y=k2x+b(k2≠0，b：为常数)的

2、图象的交Y点为(，，，o)，那么{YYo是方程组{‘Y二!k2+：6的解；。消去)，，得一+4=_=／'C_，即。一4x+k=0．是一次方程klx+bI=k2x+b2的根．所以I、2是方程-4x+k=0的两根．2．如果一次函数Y=后+b(k≠0，b为常数)的图象由根与系数的关系，得戈+2=4，XtX2=k．与反比例函数Y=(k≠0)的图象的交点为(，Y。)、所以：+=(l+2)-2xl2=16-2k．而+；+8xI2一2l=0．(，)，那么{：，{x一=x2是万崔组'1ry=kI+6的解；所以16—2+8一k=0，即k一6后一16=0．。、、Y=Yl’Yv：二L解得k=一2或k=8．

3、当k=一2时，△=(-4)-4×1X(-2)=16+8>0．是分式方程kt+b=詈的两根．当k=8时，△=(一4)一4×1X8=16—32<0，此时方程无实数根，舍去．所以所求的k值为一2．3．如果一次函数Y=kx+6(k#0，b为常数)的图象与例3平行于直线Y=一的直线与抛物线Y=+二次函数Y=++c(口≠0，6、c为常数)的图象的交3一4交于A、两点，且AB=．求直线的解析式．点为(。，y。)、(，y：)，那么f一，f一是方程组解设所求直线为Y=一+b，交点A的坐标为(。，yyl、)，Y。)，交点日的坐标为(：，Y2)．{y=kx‘+、是二次方程似2+bx+c=+6的：所蹰点的坐

4、标是方程组{一4罟两根．由①、②消去Y，得+4x一(4+6)=0．函数图象的交点坐标与方程、方程组的解之间的内所以2是方程+4x一(4+b)=O的两根．在联系，在解题中有着广泛的应用．由根与系数的关系，得l+2=一4，XlX2=一(4+例1一次函数Y=+1(k≠0)与Y=似+b(口≠0，6)．b为常数)，当=2时的函数值分别是3和4；当=4时，所以(2一1)：(l+2)-4xl2：16+4(4+b)=两函数的图象有一个公共点，试求这两个一次函数的解46+32．析式．由①、②消去，得一(2b+4)y+(b+3b一4)=0．解把=2，Y=3和=2，Y=4分别代入Y=+1同样，Y是方程一(

5、26+4)Y十(b+36—4)=0与Y=+b，得2+1=3①，2口+b=4④的两根．因为当=4时，两个函数的图象有—个公共点，即交点．由根与系数的关系，得所以这个交点的坐标是方程组{y船+：的解．因为交点Yl+Y2=2b+4，YlY2=b+36—4．所以(一Y)=()，l+)，2)一4ylY2=(26+4)一4的横坐标是4．所以4是方程+1=ax+b的根．所以4后(b+36—4)=4b+32．由两点间的距离公式，得AB=+1=4a+b③．解由①、②、③组成的方程组，得k：1，口=／(x2一1)+(Y2一Yt)．~÷，b=3．所以所求的两个一次函数的解析式分别为Y=所以(46+32)+

6、(46+32)=(6)，解得b=1．+1和y=+3．故所求直线的解析式为Y=一+1．例2已知在同一直角坐标系中，一次函数Y=一+例4如图1，经过A(2，0)和B(0，2)两点的直线，与<数理化解题研究014年第J口期(翱巾)数学篇鞠y’●抛物线，，=(口>0)交于P、Q两点．设P、Q两点的横坐标分别为m，(m>0>，1)，则m、如果△OPQ的面积为3，求抛物线的解l／1,是方程似+一2=0的两个不相的实数根．析式．B／由根与系数的关系，得m+儿：一。mn：一．●解设直线衄的解析式为，，=＼～，0、j+b，把A、两点的坐标代人所设解析因为(m—n)=(m+n)一4mn=+_8．式，得{

7、：¨．解得{1删直图l所以m⋯+詈．线AB的解析式为，，=一+2，它在y轴上的截距为2，即OB=2．因为s唧=Js啪+s唧=寻∞．ImI+0B．因为P、Q是直线AB与抛物线，，=似的两个交点．I乃J：m—n：3．‘所以P、Q两点的坐标是方程组{y一+2的解．一所以+詈：3，解得。=1或口=一专(舍去)．消去)，，得似+一2=0．所以所求抛物线的解析式为Y=X2~将军饮马的求解与最短路问题甘肃省天水市麦积区街子中学(741037)刘永智●相传古希腊有一位久负