指数函数及其反函数图象交点个数.pdf

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1、数理化学习(高中版)
徐小庆指数函数及其反函数图象交点个数x1xa0lna=1

题目
指数函数y=()与其反函数y116=1,所以x解得:x0==e.此时x0lna0=a=log16x的图像有几个交点.1切点为(e,e),a=ee.错解:两函数有一个交点在直线y=x上.1x111所以:当a>ee时函数y=a与直线y=一个交点的说法是错误的,点(,)和(,2441xx的图像没有交点;当a=ee时函数y=a与1)两点也是交点,这两点以外还有没有,交点12直线y=x的图像有一个交点;当1

2、y=x的图像有两个交点.即x1下面就指数函数y=a(a>0且a
1)及ex当a>e时,函数y=a与函数y=logax的图其反函数y=logax(a>0且a
1)图像交点1x像没有交点;当a=ee时,函数y=a与函数y个数问题进行探究.1=loge一、a>1ax的图像有一个交点;当1

3、<1)与直线y=x-1x函数,其反函数为y=f(x)(x
B,y
A).设有一个公共点,此点显然是函数y=a(0a,则有f(a)>a,1)与其反函数y=logax(0a.没有其它交点呢?因为函数y=f(x)是单调递增函数,所以x令g(x)=a-logax(x>0),则g
(x)=-1f(

4、f(a))>f(a).x2x1axlna-1又f(f-1(a)=a,所以a>f(a).这与f(a)alna-=.记h(x)=xlnaxlnax2>a矛盾.所以假设a
b不成立,于是有a=axlna-1(x>0),则h(x)与g
(x)在x>0b,所以交点(a,b)在直线y=x上.lna所以当a>1时,函时同号.xx数y=a与函数y=logaxh
(x)=a(xlna+1)lna,令h
(x)=0,则的交点只需考虑函数y=1xx=-,见表1.a与直线y=x的交点.lna共有三类情况(如图1).表1x先求出函数y=a与x(0,-

5、1)-1(-1,+
)lnalnalna直线y=x相切时的底xh
(x)-0+数.设切点为(x0,y0),则y
=alna,又y

6、x=x011h(x)
极小值--
elna
4
数理化学习(高中版)11-ex01

(1)令--
0,即e
a<1时,因为g
(x0)=alna-=x0lna-elnax0lna2h(x)
0(x>0),所以g
(x)
0,所以在(0,11lnx0-1=lnx0-=,+
)上函数g(x)是单调增函数.所以g(x)=x0lnalnx0lnx00有且只有一个根x0.所以g
(x0)<0.-ex即e

7、
a
1时,函数y=a与其反函数所以x0
(x1,x2),又g(x0)=0,g(x)在y=logax图象有且只有一个交点.(x1,x2)上是单调减函数.111所以g(x1)>0,g(x2)<0,又limg(x)(2)令--<0,又limh(x)=-x
0+elnax
0+lna=-
,limg(x)=+
,所以g(x)=0在(0,x
+
>0,limh(x)>0,所以h(x)=0在区间(0,x
+
x1)上有一根,在(x1,x2)上有一根x0,在(x2,11-)和(-,+
)上各有一根,分别记为+
)上有一根.lnalna-

8、ex即0

9、-x0=0,因为0<数y=a与函数y=logax图象有一个交点;当111x-e11a>ee时,函数y=a与其反函数y=logax图a