关于双曲周期点与双曲周期轨的一种等价性及其证明.pdf

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1、2014年9月安庆师范学院学报(自然科学版)Sept．2014第2o卷第3期JoumalofAnqingTeachemCollege(NaturalScienceEdition)VOI．2oNO．3网络出版时间：2014-9—1516：07网络出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／doi／10．13757／j．enki．en34一l150／n．2014．03．004．html关于双曲周期点与双曲周期轨的一种等价性及其证明王磊，袁泉(1．合肥学院数学与物理系，安徽合肥230601；2．华中科技大学数学与统计学院，湖

2、北武汉430074)摘要：阐述双曲周期点与双曲周期轨的异同，指出双曲周期点与双曲周期轨之间的一种相互蕴含关系，并利用微分流形上微分同胚的保维数性质、复合微分同胚求导法则给予严格证明。关键词：双曲周期点；双曲周期轨；双曲直和分解中图分类号：O193文献标识码：A文章编号：1007—4260(2014)03—0010—03紧致度量空间中微分自映射的双曲集是微分双曲集；(2)双曲周期点所形成轨道上的每一个点动力系统研究的主要对象之一，不变集的双曲性是否都是双曲的。据我们所知，目前文献中还未曾具有很多好的性质，也是我们进一步定义并研究双有关这

3、两个问题的严格证明或说明。本文将严格曲不变流形、公理A系统以及阐述Smale谱分解定证明上述两个问题的答案都是肯定的，从而彻底揭理的基础¨。双曲集不但在微分动力系统中占有示双曲周期点与双曲周期轨之问的相互蕴含关系。很重要的地位，而且在研究混沌动力学中也具有重设为m维紧致无边流形，具有黎曼度量，-厂：要作用，比如著名的Smale马蹄集就是一个一致双为一微分同胚。先给出几个相关概念和引曲集J，利用双曲集的性质往往可以给出混沌动力理。系统一些复杂结果的拓扑几何说明，因此双曲集定义1ll(双曲不动点)P为厂的不动点，如果至今依然是现代动力系统

4、研究的重要方向之一l4q]对切映射A=p)：一，存在的一个。在双曲集中有两个重要的研究对象：双曲周期点和双曲周期轨。这两个对象在双曲集的研直和分解：=(P)①E“(P)，使得A在这个直究中扮演着很重要的角色，为许多双曲性的深入理和分解下保基点不变，即解提供了两个很好的实例，是研究跟踪引理、横截A(F(P))：(p)，A(E“(P))=E(P)同宿点理论、一稳定性的基础。对双曲周期点大且存在G>0，0

5、定义，IA一l≤CAII，Vv∈E“(p)，≥0而是将其嵌在双曲不变集的定义中¨l3J。由于双曲则称P为，的双曲不动点。集定义的复杂性⋯，这极易导致很多学者将这两个定义2【l(双曲周期点)设P为的k周期点，概念混为一谈，这有失数学的严谨。实际上，它们(P)=PTOp)≠P，V1≤i≤k—l。若P作为，：定义的角度和反映的动力学目的是完全不同的，故的不动点为双曲的，则称P为的双曲周期有必要将这两个概念做一个详细的探究，阐明他们点。之间的区别与联系。本文将在双曲不变集的基础上将双曲周期轨的概念提炼出来，提出如下两个自下面给出双曲周期轨道的

6、严格定义。然的问题：(1)双曲周期点形成的周期轨道是否为定义3(双曲周期轨)若P的周期点，则·收稿日期：2014一o6一l9基金项目：国家自然科学基金(11302080)，中国博士后科学基~(2013M530343)和合肥学院重点建设学科基金(14xkO8)资助。作者简介：王磊，男，安徽阜阳人，华中科技大学在读博士，合肥学院数学与物理系教师，研究方向为微分动力系统。通讯作者：袁泉，男，安徽合肥人，华中科技大学数学与统计学院博士后，研究方向为动力系统。第3期王磊，袁泉：关于双曲周期点与双曲周期轨的一种等价性及其证明·l1·Orb(p)=

7、{P，f(p)，⋯，(P)}，记P=f‘(P)，0D，(P)(Pi)=(P)，≤≤，这里P=P0。若对任意0≤i≤JI}一1，存Df(p)E“(P)=E“(PⅢ)(1)在切空间处的直和分解E(Pi)①E“(P)，使且存在常数C>0,00，0

8、，≥0(3)IDy'()()I≤CAl口l，V∈Orb(p0)，特别的，考虑微分同胚g=f：，则p为g的13∈E()，n≥0；不动点，且(p)为。到自身的线性映射。由复IDf-“()()l≤CA“lI，V∈Orb(p0)