空间解析几何直线及其方程.ppt

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1、空间解析几何与向量代数第七章§7-7空间直线及其关系一、空间直线的一般方程空间上任何两个不平行的平面的交点在一条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程组表示直线的一般方程其中(交面式)上述直线也等价于几何上，一条直线可看作任意两个过该直线且不平行的平面的交线，即直线方程的表达式不唯一.二、直线的对称式方程和参数方程若给一定点及一向量，过此定点平行于已知向量可唯一确定一条直线.M(x，y，z)为直线l上任意一点，则设直线l过定点M0(x0,y0,z0)，平行已知向量(非零)s＝(m，n，p).设对称式方程反过来，任

2、一点M(x,y,z)满足(1)，则因M0在l上，故M也在l上，故(1)即为直线l的方程.s＝(m，n，p)称为l的方向.在(1)式中，令则t为参数.直线的参数方程约定：例1.求过点A(1,1,1)，B(1,2,3)的直线l的对称式方程、参数方程及一般方程.解：l的方向则得l的对称式方程参数方程上面方程组中，x=1为一平面，后面两方程去掉参数t得故得一般方程例2.用对称方程及参数方程表示直线l：解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得l上一定点和l的方向即可.现求一定点.将联立方程组相加:令z=1得x=3,y=1,得一定点(3,1,1).故得对称式即

3、而得参数方程：x=3+4t,y=1t,z=13t.t为参数.三、两直线的夹角两直线l1,l2的方向s1,s2之间夹角称为该两直线的夹角(通常指锐角).易知令s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2).特例：l1//l2l1l2s1s2=0s1,s2线性相关.s1s2=0四、直线与平面的夹角我们称直线l与它所在平面上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角(通常要求).ln设直线l：平面：ln则n与s的夹角为例3.求过点M0(1,2,4)且与平面x2y+z4=0垂直的直线方程.则直线方程为：解：取

4、s=n=(1,2,1).例4.求直线与平面的交点.解：令x=2+t,y=3+t,z=4+2t.代入平面方程2(2+t)+3+t+4+2t6=0.5t+5=0,得x=1,y=2,z=2.t=1,例5.求过点M0(3,3,0)且与直线.l1:垂直相交的直线l的方程.解：M0M1l1设所求直线l与l2与交点为M1(x1,y1,z1).则M0M1s1=(1,1,2).令t+t+22t6=0.t=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直线方程为直线方向s=M0M1=(13,13,20)=(2,2,2).例6.求直线l1:x+y

5、1=0,y+z+1=0,在平面:2x+y+2z=0上的投影直线的方程.解：直线l1的方向=(1,1,1).再求l1与的交点M0(x0,y0,z0).即联立求解x+y1=0,y+z+1=0,2x+y+2z=0.消元x+y1=0,y+z+1=0,y+2z+2=0.x+y1=0,y+z+1=0,3z+3=0.M0l1nM1得(x0,y0,z0)=(1,0,1).M0l1nM1任取l1上(不在上)一点M1(x,y,z)=(0,1,2).作过M1且垂直于的直线l2:设l2与交点为M2(x2,y2,z2)，则相应参数t满足22t+1+

6、t+2(2+2t)=0得交点M2(x2,y2,z2)所求直线方程为即思想：求直线与交点M0；求直线上平面外一点M1；求过M1垂直于的直线l2;求l2与的交点M2；求过M0，M2的投影直线方程.M0l1nM1事实上，我们利用了直线的另外一种表达式两点式设l:过点M0(x0,y0,z0),M1(x1,y1,z1).则l:下面我们用平面束来解题设直线l：A1x+B1y+C1z+D1=L1(x,y,z)=0,1A2x+B2y+C2z+D2=L2(x,y,z)=0,2令(1,2):1L1(x,y,z)+2L2(x,y,z)=0

7、,称(1,2)为平面束.1//2命题1.平面束(1,2)为过直线l的平面,且任何过l的平面都对应于平面束中某一平面.证：显然,(1,2)对都表示平面且过l.现设平面为过l及l外某一点(x1,y1,z1)的平面.令1:2满足：1L1(x1,y1,z1)+2L2(x1,y1,z1)=0,则平面束中对应于方程L2(x1,y1,z1)L1(x,y,z)L1(x1,y1,z1)L2(x,y,z)=0.例6新解例6.求直线l:x+y1=0,y+z+1=0.在平面：2x+y+2z=0上的投影直线方程.l解：由题意，只需求过l的

8、平面束中的一个垂直于的平面1，即由直线的一般形式(也称交面式)求得投影直线.过l的平面束为