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1、第六节空间直线及其方程第六章四、直线与平面的夹角一、空间直线方程的一般方程二、空间直线方程的对称式方程和参数方程三、两直线的夹角五、平面束六、小结与思考练习7/19/20211因此其一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)一、空间直线方程的一般方程7/19/202121.对称式方程（点向式方程)故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量二、空间直线方程的对称式方程和参数方程7/19/20213设得参数式方程:3.参数式方程7/
2、19/20214解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.例1用对称式及参数式表示直线（补充题）7/19/20215故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.(自学课本例1)7/19/20216例2求与两平面x－4y=3和2x－y－5z=1的交线平行且过点(－3,2,5)的直线的方程.解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取因此所求直线的方程为7/19/20217例
3、3求直线与平面2x＋y＋z－6=0的交点.解：所给直线的参数方程为x=2+t,y=3+t,z=4+2t,代入平面方程中，得2(2+t)+(3+t)+(4+2t)－6=0.解上列方程，得t=－1.把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为x=1,y=2,z=2.（由课本例3改编）7/19/20218则两直线夹角满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为三、两直线的夹角7/19/20219特别地有:7/19/202110解:直线直线二直线夹角的余弦为从而的方向向量为的方向向量为例4（由课本例4改
4、编）求以下两直线的夹角7/19/202111当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角称为直线与平面间的夹角;当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为平面的法向量为则直线与平面夹角满足直线和它在平面上的投影直︿四、直线与平面的夹角7/19/202112特别有:例5求过点(1,－2,4)且与平面解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.垂7/19/202113五、平面束有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.设直线L由方程组所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比
5、例.我们建立三元一次方程：(III)其中为任意常数.因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成(II)(I)7/19/202114比例，所以对于任何一个值，方程(III)的系数：不全为零，从而方程(III)表示一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(I)和(II)，因而也满足方程(III)，故方程(III)表示通过直线L的平面，且对于于不同的值，方程(III)表示通过直线L的不同的平面.反之，通过直线L的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(II
6、I)就作为通过直线L的平面束的方程(事实上，方程(III)表示缺少平面(II)的平面束).7/19/202115例6求直线在平面x+y+z=0上的投影直线的方程.解：过直线的平面束的方程为(x+y-z-1)+(x－y+z+1)=0,(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0,即(*)其中为待定常数.这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是即由此得=-1代入(*)式，得投影平面的方程为2y-2z-2=0即y-z-1=0所以投影直线的方程为7/19/202116解：7/19/202117解：7/19/2021181.空间直线方程一般
7、式对称式参数式内容小结7/19/202119直线直线夹角公式:2.线与线的关系7/19/202120平面:L⊥L//夹角公式：直线L:3.面与线间的关系4.平面束7/19/202121课外练习习题6－61（偶数题）；3；4（2）（4）；6（2）；7（偶数题）；10；12思考与练习D7/19/202122CC‖面面面面；xoyQDxozQCyozQBxoyQArrrr)(;)(;)()(^^^‖面面面面；xoyQDxozQCyozQBxoyQArrrr)(;)(;)()(^^^A7/19/202123BB7/19/202124解：相
8、交,求此直线方程.的方向向量为过A点及面的法向量为则所求直线的方向向量方法1利用叉积.所以且垂直于直线又和直线2.一直线过点7/19/202125设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法2利用所求直线与L
