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1、数学思考题一、趣味数学题目1、证明名人生日定理首先先写出名人出生的年月U,年是四位数，月是两位数（一位数的前面加零变两位数，比如1月变01月）日是两位数（一位数的前面加零变两位数，比如1FI变01R）然后把他们按顺序变成一个八位数，再减去年数，减去月数，减去日数，最后等得到一个数。定义它为名人数。例一：马克思1818年05月05日，18180505-1818-5-5二18178677是9的倍数。例二：毛泽东1893年12月26R,18931226-1893-12-26=18929295是9的倍数。名人生日定理：名人数是9的倍数。二、数学思维与方法1、观
2、察下列等式，总结一般规律。32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412,••-2、设sk(n)=lk+2k+--+n(neN.keN)证明：(1)I2+32+•••+(2n-1)2=S2(2n)-452(n)(2)l2+32+・・・+(2〃-1)?=4S?(〃)-4S
3、(n)+n(3)〃+扌+...+(2〃一厅=»(2n)-2kSk(n)3、由“l+2+3=lx2x3”出发,你能够联想到什么？4、由“6=1+2+3;28=1+2+4+7+14;……”出发，你能够联想到什么？5、观察下列等式，你能得到更一般的结论吗
4、？然后能否找出类似的等式？9x9=81,99x99=9801999x999=998001,…6、观察下列等式，你能得到更一般的结论吗?13=113+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,---7、在人教新课标教材高中A版《数学3》（必修）第一章的《割圆术》一节屮，有如下结论：“…，这样又得到一个递增数列$2加+©2”厂S,”）o这里S6，S]2,…,$2沏依次表示同一个圆的内接正6边形，正12边形，…，正2加边形的面积。这个结论对不对？能否证明？8、观察卜列等式，你能找出其他例子吗？1+
5、5+6=2+3+712+52+62=22+32+72三、极限问题（一）极限计算问题2、limS+l)(〃+2)S+3)・・・S+2013)3lim且2"+•・+〃J、k+料Toon4、已知关系。5、设叫(x_o)(x_b)丿（2）lim兀THr?八兀+ax+b.x1+cx+di7、⑴lim(11111klx22x33x4+•••+兀（〃+1）丿11(2)limE«—>oc(3)lim1111+••,1x2x32x3x43x4x5n{n+l)(n+2)丿…(1-丄)n8、(1)lim(l-r1
6、)r1)C1)r1、f1)12丿rd•••1+I22)⑵lim"TOO(3)(
7、x
8、<1),9、lim(_+4-+---+—)aaan(Q>1)（错位相减法）5+1)2lirn工十（学完夹逼准则濟）12、0］卫2昇・・耳是正的常数。(i)lim(%“+勺"+•••+%")”z?—>00⑵『+心…+心13、（1）（1+A-r的展开式中，设X的系数为色，则lim（丄+丄+・・・+丄）二Ea2a3an（2）（1+兀）"的展开式中,设疋的系数为勺，则Um（-+—+•••+—）=a3a45(3)(1+A-r的展开式中，设*的系数为％,则lim(—+—+•••+—
9、)iak兔+1an14、已知lin?n&严⑴=o,求亦空単兀一>()兀3X->()兀一6x一^―-+o(x3)+灯(兀)limxtO..0=1.msin6^W)x->0limx->06x36+/(兀)*—^~36•伽牡理=365匕15、limcos—・cos口TOO2cos—2"16、lim71—>OC1(2013+120132+120134+120138+12013丫+1丿、〃217、lim仏吐“Too18、limsinx一sin(sinx)]sinxx419.为正整数limeax+bx2-ax-=4心（）.xxsin—2（二）极限证明题1、证明：
10、设常数a>0,那么（1）数列4ci,^a+y）a+y/a，•--的极限存在，并求出极限。（2）数列4a,4a4a,yjay/a^a,---的极限存在，并求出极限。（单调有界数列必有极限）2、证明单位圆的内接（或外切）正〃边形的面积的极限是圆周率兀（学完重要极限lim—=>以后）xtOX3、已知斐波那契数列匕J：1丄2,3,5,&13,21,…，证明1而丄=卑（黄金分割比）4、设召=2,兀沖=2+丄，“=1,2,3,…,证明｛旺｝极限存在,并求此极限。Xn（三）极限应用题1、分刃3研究（做岀二、（一）第5题后）（1）计算Koch雪花的而积（2）计算Sie
11、rpinski方毯的面积（3）计算Menger海绵的体积2、正方形、三角形的极限问题（做出二、
