数学思考题第11版

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1、数学思考题一、趣味数学题目1、证明名人生日定理首先先写出名人出生的年月EI,年是四位数，月是两位数（一位数的前面加零变两位数，比如1月变01月）日是两位数（一位数的前面加零变两位数，比如1FI变01R）然后把他们按顺序变成…个八位数，再减去年数，减去月数，减去日数，最后等得到一个数。定义它为名人数。例一:马克思1818年05月05H,18180505-1818-5-5=18178677是9的倍数。例二：毛泽东1893年12月26R,18931226-1893-12-26=18929295是9的倍数。名人生日定理：名人数是9的倍数。二、数学思维与方法1、观察下列等式，总

2、结一般规律。32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412,••-2、设SJ〃)=F+2*+…gN,keN)证明：(1)I2+32H(2〃—I)，=S2(2n)—4S2(n)(2)12+32+--・+(2〃—I)?=4S2(〃)—4S](72)+〃(3)廿+3“+•••+(2«-1/=5,(2/1)-2"Sk(n)3、由^14-2+3=1x2x3v出发,你能够联想到什么？4、由“6=1+24-3;28=1+2+4+7+14;……”出发，你能够联想到什么？5、观察下列等式，你能得到更一般的结论吗？然后能否找岀类似的等式？9x9=81,

3、99x99=9801999x999=998001,…6、观察下列等式，你能得到更一般的结论吗?13=12,F+2?二(1+2尸，13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,•••7、在人教新课标教材高中A版《数学3》（必修）第一章的《割圆术》一节中，有如下结论：“…，这样又得到一个递增数列52w+(52w,-S,”)”。这里,几,S»依次表示同一个圆的内接正6边形，正12边形，…，正加边形的面积。这个结论对不对？能否证明？8、观察下列等式，你能找出其他例子吗?14-5+6=2+3+712+52+62=22+32+72三、极限问题(

4、一)极限计算问题1、十12+32+--・+(2m—I)?lim“Toe2、lim“TCC(/7+1)0?+2)0?+3)-••(/!+2013)-n3、limF+2"+・+卅“Toonk+[4、已知lim(Jn2+初+〃-J/?+c〃+d)之,求a,b,c，d之间的ns'J关系。5、设qv1，lim(i+q+g+•••+/'n—>oo6、(1)limXT8(2)limX—>00(9八*+ax+b^x2+cx+d丿7、⑴lim“TOO11111klx22x33x4斤（72+1）丿(2)limE“TOO^=11+2+・・・+£)(3)limriii11+s(1x2x3

5、2x3x43x4x5n(/?+l)(/i+2)>8、⑴lim(l-^)(l-心82…(1-尹)⑵lim“TOO（3）（卜i1）（错位相减法）S+i)（学完夹逼准则后）iklim〃(一+yv+negyv+1ir+212、,ak是正的常数。贝ljlim(—+丄+…+—)=贝ljlim(—+—+•••+—)Eak%+lJ14、已知lim空冲do,求lim上理a—>0X5xtO6x一3兀)+o(x3)+xf(x)6-limx->0,.0=limSin6^V«XT()lim%->()X3廿単_3615、limcos—-

6、coss2•cos—cos232〃16、lim/7—>001(2013+120132+120134+12013Jl2013?"+1丿17、lim"tan丄7、矿18、lim兀一>0<〃丿sinx一sin(sinx)]sinxx419、Q#为正整数,limx->0•X尢sin-2(i)limS"+a2+•••+%")”?2—>0C⑵悝（心斗二工13、（1）（1+砂的展开式中，设〒的系数为％,则lim（丄+丄+…+丄）=°2a3an（2）（1+兀）〃的展开式屮，设/的系数为色,（3）（1+xf的展开式中，设/的系数为％,（-）极限证明题1、证明：设常数d>0,那么（1）数

7、列循,Jd+咖,+Jd+奶,…的极限存在，并求出极限。（2）数列需,Ja屁Jaja需,…的极限存在，并求出极限。（单调有界数列必有极限）2、证明单位圆的内接（或外切）正〃边形的面积的极限是圆周率兀（学完重要极限JijyI=1以示）兀tO兀3、已知斐波那契数列匕」：1丄2,3,5,8,13,21,…，证明]血玉二竽（黄金分割比）4、设西=2,兀“+]=2+丄，“=1,2,3,…,证明｛兀“｝极限存在，并求此极限。Xn（三）极限应用题1、分形研究（做出二、（一）第5题后）（1）计算Koch雪花的面积（2）计算Sierpinski方毯的面积（3）计算Men